《高等数学》(同济六版)教学★第4章.不定积分ppt课件

.,二、基本积分表,三、不定积分的性质,一、原函数与不定积分的概念,第一节,不定积分的概念与性质,第四章,.,一、原函数与不定积分的概念,引例:一个质量为m的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,根据牛顿第二定律,加速度,定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x),满足,在区间I上的一个原函数.,则称F(x)为f(x),如引例中,的原函数有,.,问题:,1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?,2.若原函数存在,它如何表示?,定理1.,存在原函数.,(下章证明),初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,.,定理2.,原函数都在函数族,(C为任意常数)内.,证:1),又知,故,它属于函数族,即,.,定义2.,在区间I上的原函数全体称为,上的不定积分,其中,积分号;,被积函数;,被积表达式.,积分变量;,(P185),若,则,(C为任意常数),C称为积分常数,不可丢!,例如,记作,.,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线.,.,例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点(1,2),故有,因此所求曲线为,.,例2.质点在距地面,处以初速,力,求它的运动规律.,解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为,此时质点位置为,初速为,设时刻t质点所在位置为,则,(运动速度),(加速度),垂直上抛,不计阻,.,先求,由,知,再求,于是所求运动规律为,由,知,故,.,二、基本积分表(P188),从不定积分定义可知:,或,或,利用逆向思维,(k为常数),.,或,或,.,.,例3.求,解:原式=,例4.求,解:原式=,.,三、不定积分的性质,推论:若,则,.,例5.求,解:原式,.,例6.求,解:原式=,例7.求,解:原式=,.,例8.求,解:原式=,.,内容小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表(见P188),2.直接积分法:,利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,.,思考与练习,1.证明,2.若,(P193题7),提示:,.,3.若,是,的原函数,则,提示:已知,.,4.若,的导函数为,则,的一个原函数,是().,提示:已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,.,5.求下列积分:,提示:,.,6.求不定积分,解：,.,7.已知,求A,B.,解:等式两边对x求导,得,.,作业,P1922(5),(12),(14),(20),(23),(25),(26);5;6,第二节,第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,.,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,换元积分法,第四章,.,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,.,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即,凑微分法),.,例1.求,解:令,则,故,原式=,注:当,时,注意换回原变量,.,例2.求,解:,令,则,想到公式,.,例3.求,想到,解:,(直接配元),.,例4.求,解:,类似,.,例5.求,解:,原式=,.,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,.,例6.求,解:原式=,.,例7.求,解:原式=,例8.求,解:原式=,.,例9.求,解法1,解法2,两法结果一样,.,例10.求,解法1,.,解法2,同样可证,或,(P199例18),.,例11.求,解:原式=,.,例12.求,解:,.,例13.求,解:,原式=,.,例14.求,解:原式=,分析:,.,例15.求,解:原式,.,小结,常用简化技巧:,(1)分项积分:,(2)降低幂次:,(3)统一函数:利用三角公式;配元方法,(4)巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差;分式分项;,利用倍角公式,如,.,思考与练习,1.下列各题求积方法有何不同?,.,2.求,提示:,法1,法2,法3,作业,.,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法.,难求，,.,定理2.设,是单调可导函数,且,具有原函数,证:,令,则,则有换元公式,.,例16.求,解:令,则,原式,.,例17.求,解:令,则,原式,.,例18.求,解:,令,则,原式,.,令,于是,.,说明:,1.被积函数含有,除采用三角,采用双曲代换,消去根式,所得结果一致.,(参考P204P205),或,代换外,还可利用公式,2.再补充两个常用双曲函数积分公式,.,原式,例19.求,解:令,则,原式,当x0时,类似可得同样结果.,.,小结:,1.第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,第四节讲,.,2.常用基本积分公式的补充(P205P206),7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,令,.,.,解:原式,(P206公式(20),例20.求,例21.求,解:,(P206公式(23),.,例22.求,解:原式=,(P206公式(22),例23.求,解:原式,(P206公式(22),.,例24.求,解:令,得,原式,.,例25.求,解:原式,令,例16,例16,.,思考与练习,1.下列积分应如何换元才使积分简便?,令,令,令,.,2.已知,求,解:两边求导,得,则,(代回原变量),.,P2072(4),(5),(9),(11),(12),(16),(20),(21),(23),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(38),(40),(42),(44),作业,第三节,.,备用题1.求下列积分:,.,2.,求不定积分,解：,利用凑微分法,原式=,令,得,.,分子分母同除以,3.,求不定积分,解:,令,原式,.,第三节,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1)v容易求得;,容易计算.,分部积分法,第四章,.,例1.求,解:令,则,原式,思考:如何求,提示:令,则,原式,.,例2.求,解:令,则,原式=,.,例3.求,解:令,则,原式,.,例4.求,解:令,则,原式,再令,则,故原式=,说明:也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致.,.,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的,顺序,前者为后者为,例5.求,解:令,则,原式=,反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数,.,例6.求,解:令,则,原式=,.,例7.求,解:令,则,原式,令,.,例8.求,解:令,则,原式=,.,例9.求,解:令,则,得递推公式,.,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,.,例10.设,证:,证明递推公式:,.,说明:,分部积分题目的类型:,1)直接分部化简积分;,2)分部产生循环式,由此解出积分式;,(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加C),例4,3)对含自然数n的积分,通过分部积分建立递推公式.,例4,.,例11.已知,的一个原函数是,求,解:,说明:此题若先求出,再求积分反而复杂.,.,例12.求,解法1先换元后分部,令,即,则,故,.,解法2直接用分部积分法,.,内容小结,分部积分公式,1.使用原则:,2.使用经验:,“反对幂指三”,前u后,3.题目类型:,分部化简;,循环解出;,递推公式,4.计算格式:,.,例13.求,解:,令,则,可用表格法求多次分部积分,.,例14.求,解:令,则,原式,原式=,.,思考与练习,1.下述运算错在哪里?应如何改正?,得0=1,答:不定积分是原函数族,相减不应为0.,求此积分的正确作法是用换元法.,.,2.求,提示:,得,3.设,证:,目录上页下页返回结束,可微且其反函,数,存在,证明,.,作业,P2134,5,9,14,18,20,21,22,24,第四节,.,备用题.,求不定积分,解：,方法1,(先分部,再换元),令,则,.,方法2,(先换元,再分部),令,则,故,.,第四节,基本积分法:,换元积分法;,分部积分法,初等函数,初等函数,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第四章,直接积分法;,.,一、有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式+真分式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,.,例1.将下列真分式分解为部分分式:,解:,(1)用拼凑法,.,(2)用赋值法,故,.,(3)混合法,原式=,.,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分,.,例2.求,解:已知,例1(3),例1(3),.,例3.求,解:原式,思考:如何求,提示:,变形方法同例3,并利用书P363公式20.,.,例4.求,解:,说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,.,例5.求,解:原式,.,常规法,例6.求,解:原式,(见P363公式21),注意本题技巧,本题用常规方法解很繁,按常规方法解,第一步令,比较系数定a,b,c,d.得,第二步化为部分分式.即令,比较系数定A,B,C,D.,第三步分项积分.,此解法较繁!,.,二、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换(参考下页例7),t的有理函数的积分,1.三角函数有理式的积分,则,.,例7.求,解:令,则,.,.,例8.求,解:,说明:通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换,.,例9.求,解法1,令,原式,.,例9.求,解法2,令,原式,.,例10.求,解:因被积函数关于cosx为奇函数,可令,原式,.,2.简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,.,例11.求,解:令,则,原式,.,例12.求,解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的,最小公倍数6,则有,原式,令,.,例13.求,解:令,则,原式,.,内容小结,1.可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,简便,.,思考与练习,如何求下列积分更简便?,解:1.,2.原式,.,作业,P2183,6,8,9,13,15,17,18,20,24,第五节,.,备用题1.,求不定积分,解：,令,则,故,分母次数较高,宜使用倒代换.,.,2.求不定积分,解：,原式=,前式令,;后式配元,.,第四节,基本积分法:,换元积分法;,分部积分法,初等函数,初等函数,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第四章,直接积分法;,.,一、有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式+真分式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,.,例1.将下列真分式分解为部分分式:,解:,(1)用拼凑法,.,(2)用赋值法,故,.,(3)混合法,原式=,.,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分,.,例2.求,解:已知,例1(3),例1(3),.,例3.求,解:原式,思考:如何求,提示:,变形方法同例3,并利用书P363公式20.,.,例4.求,解:,说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,.,例5.求,解:原式,.,常规法,例6.求,解:原式,(见P363公式21),注意本题技巧,本题用常规方法解很繁,按常规方法解,第一步令,比较系数定a,b,c,d.得,第二步化为部分分式.即令,比较系数定A,B,C,D.,第三步分项积分.,此解法较繁!,.,二、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换(参考下页例7),t的有理函数的积分,1.三角函数有理式的积分,则,.,例7.求,解:令,则,.,.,例8.求,解:,说明:通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换,.,例9.求,解法1,令,原式,.,例9.求,解法2,令,原式,.,例10.求,解:因被积函数关于cosx为奇函数,可令,原式,.,2.简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,.,例11.求,解:令,则,原式,.,例12.求,解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的,最小公倍数6,则有,原式,令,.,例13.求,解:令,则,原式,.,内容小结,1.可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,简便,.,思考与练习,如何求下列积分更简便?,解:1.,2.原式,.,作业,P2183,6,8,9,13,15,17,18,20,24,第五节,.,备用题1.,求不定积分,解：,令,则,故,分母次数较高,宜使用倒代换.,.,2.求不定积分,解：,原式=,前式令,;后式配元,.,第五节,积分计算比导数计算灵活复杂,为提高求积分,已把常用积分公式汇集成表,以备查用.,如P347附录.,积分表的结构:按被积函数类型排列,积分表的使用:,1)注意公式的条件,2)注意简单变形的技巧,注:很多不定积分也可通过Mathematica,Maple,等数学软件的符号演算功能求得.,的效率,积分表的使用,第四章,.,例1.求,解:,应使用P368公式105.,.,例2.求,解法1,令,则,原式,(P364公式37),.,例2.求,解法2令,则,原式,(P363公式21),.,例3.求,解:令,则,原式,.,(P363公式21),(P363公式19),习题课,作业P2213;8;19;24;25,.,习题课,一、求不定积分的基本方法,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,第四章,.,一、求不定积分的基本方法,1.直接积分法,通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.,2.换元积分法,注意常见的换元积分类型,如掌握P205P206公式(16)(24