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文档简介

.,第4节,一、平面及其方程,二、直线及其方程,三、两直线及两平面的夹角,平面与直线,第七章,.,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,.,例1.求过三点,即,解:取该平面的法向量为,的平面的方程.,利用点法式得平面的方程,.,此平面的三点式方程也可写成,一般情况:,过三点,的平面方程为,说明:,.,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,.,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,.,特殊情形,当D=0时,Ax+By+Cz=0表示,通过原点的平面;,当A=0时,By+Cz+D=0的法向量,平面平行于x轴;,Ax+Cz+D=0表示,Ax+By+D=0表示,Cz+D=0表示,Ax+D=0表示,By+D=0表示,平行于y轴的平面;,平行于z轴的平面;,平行于xOy面的平面;,平行于yOz面的平面；,平行于zOx面的平面.,.,例2.求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.,例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,解:,因平面通过x轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,.,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角.,.,特别有下列结论：,.,因此有,例4.一平面通过两点,垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.,解:设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C,得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,.,外一点,求,例5.设,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d.,则P0到平面的距离为,(点到平面的距离公式),.,例6.,解:设球心为,求内切于平面x+y+z=1与三个坐标面所构成,则它位于第一卦限,且,因此所求球面方程为,四面体的球面方程.,故,.,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,.,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,.,备用题,求过点,且垂直于二平面,和,的平面方程.,解:已知二平面的法向量为,取所求平面的法向量,则所求平面方程为,化简得,.,三空间直线方程,空间直线的一般方程空间直线方程通常用两个平面的交线来刻画：,
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