高等数学 平面及其方程ppt课件

.,77平面及其方程,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,法线向量、,平面的点法式方程,特殊的平面、,平面的一般方程、,截距式方程,两平面的夹角、,两平面夹角的余弦,两平面平行与垂直的条件,点到平面的距离公式,.,一、平面的点法式方程,法线向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就叫做该平面的法线向量或者叫法矢,.,唯一确定平面的条件：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就电做该平面的法线向量,过一定点M0(x0，y0，z0)的平面有无穷个,一、平面的点法式方程,法线向量：,.,唯一确定平面的条件：,法线向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就电做该平面的法线向量,过一定点M0(x0，y0，z0)的平面有无穷个,一、平面的点法式方程,.,唯一确定平面的条件：,一、平面的点法式方程,法线向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就电做该平面的法线向量,过一定点M0(x0，y0，z0)的平面有无穷个,.,唯一确定平面的条件：,一、平面的点法式方程,法线向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就电做该平面的法线向量,过一定点M0(x0，y0，z0)并有确定,法向量A，B，C的平面只有一个,过一定点M0(x0，y0，z0)的平面有无穷个,.,唯一确定平面的条件：,一、平面的点法式方程,法线向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就电做该平面的法线向量,过一定点M0(x0，y0，z0)并有确定,法向量A，B，C的平面只有一个,过一定点M0(x0，y0，z0)的平面有无穷个,.,平面方程的建立：,设M(x，y，z)是平面上的任一点,必与平面的法线向量n垂直，,设M0(x0，y0，z0)为平面上一点，,nA，B，C,一个法线向量,为平面的,即它们的数量积等于零：,由于,nA，B，C，,所以A(xx0)B(yy0)C(zz0)0,这就是平面的方程,此方程叫做平面的点法式方程,.,即x2y3z80,例1求过点(2，3，0)且以,n1，2，3为法线向量的平,面的方程,解,根据平面的点法式方程，,得所求平面的方程为,(x2)2(y3)3z0，,.,解先求出这平面的法线向量n,例2求过三点M1(2，1，4)、M2(1，3，2)和M3(0，2，3)的平面的方程,可取,.,根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为14(x2)9(y1)(z4)0，即14x9yz150,14i9jk，,解先求出这平面的法线向量n,例2求过三点M1(2，1，4)、M2(1，3，2)和M3(0，2，3)的平面的方程,可取,.,方法二：设平面方程为A（x-2）+B（y+1）+C（Z-4）=0点M2、M3满足方程，代入方程：,解之得：,因此有：,.,二、平面的一般方程,所以任一三元一次方程AxByCzD0的图形总是一个平面,任一平面都可以用它上面的一点(x0，y0，z0)及它的法线向量,方程的一组数x0，y0，z0，即Ax0By0Cz0D0,反过来，设有三元一次方程AxByCzD0,任取满足该,由于方程AxByCzD0与方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)0同解，,nA，B，C来确定，,平面的点法式方程是三元一次方程,A(xx0)B(yy0)C(zz0)0,则有A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，,这是平面的点法式方程,方程AxByCzD0称为平面的一般方程,.,考察下列特殊的平面，指出法线向量与坐标面、坐标轴的关系，平面与坐标面、坐标轴的关系，平面通过的特殊点或线,例如，,方程3x4yz90表示一个平面，,n3，4，1,是这平面的一个法线向量,讨论：,D=0：AxByCz0A=0：ByCzD0B=0：AxCzD0C=0：AxByD0A=B=0：CzD0B=C=0：AxD0A=C=0：ByD0,.,将其代入所设方程并除以B(B0)，便得所求的平面方程为y3z0,例3求通过x轴和点(4，3，1)的平面的方程,解由于平面通过x轴，从而它的法线向量垂直于x轴，,于是法线向量在x轴上的投影为零，即A0,又由于平面通过x轴，它必通过原点，于是D0,因此可设这平面的方程为ByCz0,又因为这平面通过点(4，3，1)，所以有3BC0，或C3B,.,例4设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、,R(0,0,c)三点，,求这平面的方程(其中a0，b0，c0),.,解设所求平面的方程为AxByCzD0,因P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三点都在这平面上，所以点P、Q、R的坐标都满足所设方程；即有,解得,将其代入所设方程并除以D(D0)，便得所求的平面方程为,此方程称为截距式方程而a,b,c依次叫做,例4设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、,R(0,0,c)三点，,求这平面的方程(其中a0，b0，c0),平面在x,y,z轴上的截距,.,三、两平面的夹角,两平面的夹角：,两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的平角,)q,.,来确定,设平面1和2的法线向量分别为,n1A1，B1，C1，,n2A2，B2，C2,那么平面1和2的夹角应是(n1,n2)和(-n1,n2)=p-(n1,n2),两者中的锐角，,因此，cos|cos(n1,n2)|,按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面1和2的夹角可由,cos,.,从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：（1）平面1和2互相垂直当且仅当A1A2B1B2C1C20；（2）平面1和2互相平行或重合当且仅当,.,例5求两平面xy2z60和2xyz50的夹角,解,n1A1，B1，C11，1，2，,n2A2，B2，C22，1，1，,cos,.,例6一平面通过两点M1(1，1，1)和M2(0，1，1)且垂直于,平面xyz0，求它的方程,解设所求平面的法线向量为,nA，B，C,1，0，2,已知另一平面的法线向量为,所以可取,2ijk，,从而所求平面方程为2(x1)(y1)(z1)0，即2xyz0,n11，1，1,由已知条件，有n，nn1,n=n1,.,设P0(x0，y0，z0)是平面AxByCzD0外一点，求P0到这平面的距离,点到平面的距离：,在平面上任取一点P1(x1，y1，z1