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文档简介

.,函数的极值及其求法,由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论。,.,一、函数极值的定义,.,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,.,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,.,注,这个结论又称为Fermat定理,如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值，此时导数不改变符号,不可导点也可能是极值点,可疑极值点：驻点、不可导点,可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。,.,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),.,求极值的步骤:,(不是极值点情形),.,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,.,图形如下,.,定理3(第二充分条件),证,.,例2,解,图形如下,.,注意:,.,例3,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,.,例4,证,（不易判明符号）,而且是一个最大值点，,.,例5,设f(x)连续，且f(a)是f(x)的极值，问f2(a)是否是f2(x)的极值,证,分两种情况讨论,所以f2(a)是f2(x)的极小值,.,设f(a)是f(x)的极小值，且,又f(x)在x=a处连续，且,f2(a)是f2(x)的极大值,同理可讨论f(a)是f(x)的极大值的情况,.,例6,证,由Taylor公式，得,.,因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内,下面来考察两种情形,n为奇数，当x渐增地经过x0时,变号,不变号,变号,不是极值,.,n为偶数，当x渐增地经过x0时,不变号,不变号,不变号,是极值,是极小值,是极大值,.,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),三、小结
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