高等数学(下)总复习(同济六版)ppt课件

2020/5/24,.,1,总复习(一）,2020/5/24,.,2,一、求极限,1、极限的定义：,单侧极限,2、无穷小与无穷大,无穷小；,无穷大；,无穷小与无穷大的关系,无穷小的运算性质,极限存在的条件,3、极限的性质,四则运算、复合函数的极限,2020/5/24,.,3,4、求极限的常用方法,a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.,5、判定极限存在的准则,夹逼定理、单调有界原理,2020/5/24,.,4,6、两个重要极限,7、无穷小的比较,8、等价无穷小的替换性质,9、极限的唯一性、局部有界性、保号性,2020/5/24,.,5,1、连续的定义,单侧连续,连续的充要条件,闭区间的连续性,2、间断点的定义,间断点的分类,第一类、第二类,3、初等函数的连续性,连续性的运算性质,反函数、复合函数的连续性,4、闭区间上连续函数的性质,最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理,2020/5/24,.,6,例1,解：,原式,2020/5/24,.,7,例2,解：,（有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）,2020/5/24,.,8,解,例3,2020/5/24,.,9,解,例4,2020/5/24,.,10,例5,解,2020/5/24,.,11,例6,解,2020/5/24,.,12,解：,例7,2020/5/24,.,13,解：,例8,2020/5/24,.,14,例9求函数的间断点，并指出间断点的类型。,解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为,所以为间断点。,所以为第二类无穷间断点。,所以为第一类可去间断点。,2020/5/24,.,15,例10求函数的间断点，并指出间断点的类型。,解：,的间断点为,所以x0是可去间断点。令x=0,f(x)=1则函数在该点连续,2020/5/24,.,16,2020/5/24,.,17,例11,证明,讨论:,由零点定理知,2020/5/24,.,18,所以,2020/5/24,.,19,二、导数,1、导数的定义,单侧导数,左导数，右导数，可导的充要条件,2、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,常、反、对、幂、指、三、双曲18个公式,3、求导法则,2020/5/24,.,20,(1)函数的和、差、积、商的求导法则,(2)反函数的求导法则,(3)复合函数的求导法则注意不要漏层,(4)对数求导法注意适用范围,(5)隐函数求导法则注意y的函数的求导,(6)参变量函数的求导法则注意不要漏乘,4、高阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数),方法：逐阶求导,2020/5/24,.,21,5、微分的定义,微分的实质,6、导数与微分的关系,7、微分的求法,基本初等函数的微分公式,8、微分的基本法则,函数和、差、积、商的微分法则,微分形式的不变性复合函数的微分法则,2020/5/24,.,22,例12,解,原式=,2020/5/24,.,23,例13,解,2020/5/24,.,24,例14,解,2020/5/24,.,25,例15,证明,2020/5/24,.,26,2020/5/24,.,27,例16求下列函数的导数,2020/5/24,.,28,2020/5/24,.,29,2020/5/24,.,30,2020/5/24,.,31,解,第二个方程两边对t求导得,2020/5/24,.,32,所以切点坐标为,则所求切线方程为,解：先求切点坐标.将代入曲线方程得,将代入上式,得,再求曲线在切点处的切线斜率.方程两端对求导，得,2020/5/24,.,33,例18,解,两边对x求导得,2020/5/24,.,34,分析因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。,解：应用对数求导法。函数两边取对数得,所以,方程两边对求导得,例19,2020/5/24,.,35,三、导数的应用,1罗尔定理,2拉格朗日中值定理,3柯西中值定理,在上连续,在内可导,且,在上连续,在内可导,则至少存在一,使,在上连续,在内可导,，,则至少存在一使,则至少存在一使,2020/5/24,.,36,一、函数的极值与单调性,1函数极值的定义,2函数的驻点,3函数的单调区间的判别,则为的驻点。,在上，若，则单调增加；,若，则单调减少；,2020/5/24,.,37,1函数凹凸性定义,2函数的拐点,称曲线为凹的；,称曲线为凸的。,3函数凹凸性的判别,二、函数的凹凸性及拐点,凹弧与凸弧的分界点。,凹；凸。,2020/5/24,.,38,1第一充分条件,三、函数极值的充分条件,则在处取得极大值；,则在处取得极小值；,（3）若时，的符号保持不变，,则在处没有极值；,（1）若时，,而时，,（2）若时，,而时，,2020/5/24,.,39,例20,证,Lagrange定理,2020