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文档简介

第三章线性方程组,3.1消元法,引例用消元法解下列线性方程,通常把过程称为消元过程，矩阵是行阶梯形矩阵，与之对应的方程组则称为行阶梯形方程组。,消元过程就是对方程组重复三种变换：,1）变换某两个方程的位置；,2）用一个非零的数乘某一个方程的两边；,3）将一个方程的倍数加到另一个方程上去。,这三种变换称为线性方程组的初等变换。,消元法的过程就是用初等变换将方程组化为阶梯形方程组的过程，也就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程。,消元过程不唯一，阶梯形方程组也不唯一。,注意：,称为回代过程。,从上面的例子可得到如下启示：,用消元法解三元线性方程组的过程，相当于对该方程组的系数与右端的常数项按对应的位置构成的矩阵作初等行变换。,那么对一般的线性方程组是否有同样的结论呢？答案是肯定的！,设有线性方程组,其矩阵形式：,其中,称为非齐次的。,定理设A=(aij)mn，n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是系数矩阵r(A)n。,例,自由未知量,非自由未知量,证明,定理设A=(aij)mn，n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件是r(A)=r()。,例,总结如下：,线性方程组的求解方法：,1）对齐次线性方程组，将系数矩阵化为行最简形矩阵，便可直接写出其全部解；,2）对非齐次线性方程组，将增广矩阵化为行阶梯形，便可直接判断其是否有解，若有解，化为行最简形，便可直接写出其全部解。其中要注意，当r(A)=r()=sn时，的行阶梯形含有s个非零行，把这s行的第一个非零元对应的未知量作为非自由未知量，其余的n-s个作为非自由未知量。,例解线性方程组,小结,线性方
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