第3章 图像的变换

第三章图像变换，3.1傅立叶变换，3.2离散余弦变换，3.3小波变换及其应用，信号处理方法：时域分析，频域分析，特点：运算次数大大减少，二维数字滤波技术可用于各种图像处理要求。第三章图像变换，频率通常是衡量一维物理量随时间变化的速度。例如，对于中波无线电台，交流频率为50-60Hz(交流电压)，波频为1026千赫(无线电波)。第三章图像变换。图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴。图像本身所在的域称为空间域。图像灰度值随空间坐标的变化速度也用频率来衡量，称为空间频率。第3章图像变换，每个变换都有自己的正交函数集，介绍不同变换的傅里叶变换余弦变换正弦变换图像变换哈达玛变换沃尔什变换K-L变换小波变换，第3章图像变换，3.1.1一维傅里叶变换3.1.2二维离散傅里叶变换3.1.3二维离散傅里叶变换的性质3.1.4快速傅里叶变换的应用3.1.5傅里叶变换在图像处理中的应用第3章图像变换，3.1傅里叶变换，傅里叶变换利用傅里叶变换的特性， 时间信号在被前向变换到频域(例如，低通、高通或带通)之后被处理，然后被逆变换到时间信号以完成信号的滤波。 低通滤波：用于在频域中抑制高频信号的高通滤波：在频域中抑制低频信号，3.1.1一维傅里叶变换，一维(连续)傅里叶变换傅里叶变换是一种数学变换(正交变换)，它可以将一维信号(或函数)分解成具有不同幅度和不同频率的正弦和余弦信号(或函数)。输入信号f(t)、傅立叶变换、频域信号(、逆傅立叶变换、3.1.1一维傅立叶变换、一维(连续)傅立叶变换、3.1.1一维傅立叶变换、一维(连续)傅立叶变换、3.1.1一维傅立叶变换、一维(连续)傅立叶变换、3.1.1一维傅立叶变换、3.1.1一维傅立叶变换、3 . 1 . 1一维傅立叶变换、一维离散傅立叶变换、3.1.2二维离散傅立叶变换、二维连续函数fm，n表示图像f(x，y)在x，y方向上有不同大小的数组。离散信号的频谱、相位频谱和幅度频谱分别表示为：3.1.2二维离散傅立叶变换，1 .可分性，3.1.3二维离散傅立叶变换性质，基本性质，3.1.3二维离散傅立叶变换性质，图像集中性，2 .可平移性，3.1.3二维离散傅立叶变换性质，3 .周期性，3.1.3二维离散傅立叶变换性质，4 .共轭对称性，3.1.3二维离散傅立叶变换性质，例如：5。旋转不变性，3.1.3二维离散傅立叶变换的性质，6。分配和比例，3.1.3二维离散傅立叶变换的性质，7。3.1.3二维离散傅里叶变换的平均性质。为了防止卷积后的重叠误差，需要扩展离散二维函数的域。离散卷积定理，3.1.3二维离散傅立叶变换的性质，8。离散卷积定理，仅在卷积周期时避免重叠误差，3.1.3二维离散傅立叶变换的性质，8。离散卷积定理，3.1.3二维离散傅立叶变换的性质，9。离散相关定理，3.1.3二维离散傅立叶变换的性质，3.1.3二维离散傅立叶变换的性质，1)复数计算代替实数，耗时。如果使用其他合适的完全正交函数来代替傅立叶变换中使用的正弦和余弦函数以形成完整的正交函数系统，则可以避免这种复杂的运算。2)收敛缓慢，尤其是在图像编码应用中。3.1.3二维离散傅里叶变换的性质3.1.4快速傅里叶变换在研究离散傅里叶计算的基础上，节省了计算量，达到了快速计算的目的。3.1.5 A使用该工具，可以对图像的频谱进行各种处理，例如滤波、降噪、增强等。a)具有网格效应的原始图像b)傅里叶变换频谱图像，用傅里叶变换去除正弦波噪声的例子，3.1.5傅里叶变换在图像处理中的应用，a)勒拿图的频谱b)勒拿图，以及3.1.5傅里叶变换在图像处理中的应用。C)增强纵轴上光谱段的强度D)傅里叶逆变换的结果，3.1.5傅里叶变换在图像处理中的应用，3.2离散余弦变换，3.2.1离散余弦变换原理，3.2.2离散余弦变换在图像处理中的应用，3.2.1离散余弦变换原理，3.2.1离散余弦变换原理，3.2.1离散余弦变换原理，3.2.1离散余弦变换原理，3 . 2 . 1离散余弦变换原理，属性：1。余弦变换是实数和正交的。2.离散余弦变换可以从傅立叶变换3的实部获得。对于高度相关的数据，离散余弦变换具有很好的能量紧致性。对于具有一阶马尔可夫过程的随机信号，离散余弦变换是K-L变换的最佳逼近，3.2.1离散余弦变换的原理，3.2.2离散余弦变换在图像处理中的应用，以及离散余弦变换在图像变换编码中的非常成功的应用。离散余弦变换是傅里叶变换的实部，比傅里叶变换具有更强的信息集中能力。对于大多数自然图像，离散余弦变换可以将大部分信息放在较少的系数上，提高编码效率。3.3小波变换及其应用，3.3.1多分辨率分析的背景知识，3.3.2多分辨率展开，3.3.3一维小波变换，3.3.4快速小波变换算法，3.3.5二维离散小波变换，3.3.6小波分析在图像处理中的应用，3.3.1多分辨率分析的背景知识，图像金字塔算法一个图像的金字塔是一系列分辨率逐渐降低的图像集排列成金字塔形状，一个金字塔图像结构，金字塔的底部当移动到金字塔的上层时，尺寸和分辨率会降低。图像金字塔高斯和拉普拉斯金字塔编码首先对具有高斯脉冲响应的图像进行低通滤波，滤波结果从原始图像中减去，图像中的高频细节保留在差分图像中；然后，每隔一段时间对低通滤波后的图像进行采样，以便不会丢失细节。3.3.1多分辨率分析的背景知识、图像金字塔高斯和拉普拉斯金字塔编码、拉普拉斯金字塔编码策略、3.3.1多分辨率分析的背景知识、子带编码和解码、双通道子带编码和重构、3.3.1多分辨率分析的背景知识、子带编码和解码、用于子带图像编码的二维4带滤波器组、3.3.1多分辨率分析的背景知识以及哈尔变换哈基函数是所有已知的最古老和最简单的正交小波。哈尔变换本身是可分的和对称的，可以用以下矩阵形式表示：T=HFH，其中F是神经网络图像矩阵，H是神经网络变换矩阵，T是神经网络变换的结果，背景知识3.3.1多分辨率分析，哈尔变换，图像的多分辨率分解，背景知识3.3.1多分辨率分析，3.3.2多分辨率展开，给定一个基本函数，函数的展开和转换公式可以记录为：3.3.2多分辨率展开，函数的展开和转换，展开和转换序列扩展信号或函数通常可以很好地分解成一系列扩展函数的线性组合。其中k是有限或无限和的整数下标，ak是具有实值的展开系数和具有实值的展开函数，3.3.2多分辨率展开，尺度函数，3.3.2多分辨率展开，给定小波函数的尺度函数，小波函数所处的空间跨越相邻两个尺度子空间Vj和Vj 1之间的差。如果相邻两个尺度子空间Vj和Vj 1之间的差子空间是Wj，下图显示了Wj和Vj以及Vj 1之间的关系。，尺度与小波函数空间的关系，3.3.3一维小波变换，一维离散小波变换，3.3.3一维小波变换，一维离散小波变换，Morlet小波，3.3.3一维小波变换，一维离散小波变换，Mexihat小波，3.3.4快速小波变换算法，离散小波变换算法，3.3.4快速小波变换算法，逆离散小波变换，3.3.5二维离散小波变换，适用于MN 二维离散小波变换的一步分解，3.3.5二维离散小波变换，图像的二维离散小波变换，3.3.6小波分析在图像处理中的应用，以及小波变换傅里叶变换在频谱分析和滤波方法分析中的应用。 然而，傅立叶反映了信号或函数的整体特征，而实际问题是关于信号局部范围内的特征。例如，人们在音乐和语言信号中关心的是演奏什么音符和发出什么音节。对于地震记录，关心反射波在哪里出现；在边缘检测中，重点是信号突变的位置。引入的窗口傅立叶将研究的函数与一个窗口相乘，然后执行傅立叶变换。然而，引入的变换窗口的大小和形状与频率无关并且是固定的。这与高频信号的分辨率应高于低频信号的分辨率的要求不一致，因此当频率升高时，窗口应减小。因此，它还没有得到广泛的应用和发展。小波1)从分辨率的角度来看，小波很好地解决了时间分辨率和频率分辨率之间的矛盾。它巧妙地利用了非均匀分布的分辨率，在低频段使用高频率分辨率和低时间分辨率，在高频段使用低频率分辨率和高时间分辨率。也就是说，小波分析的窗口宽度是可变的，在高频时使用短窗口，在低频时使用宽窗口。2)小波不一定要正交，而且宽带宽度的乘积很小，所以膨胀系数的能量相对集中。小波变换的基本思想是用一族函数来表示或强制一个信号或函数。这个函数族被称为一组子波函数。它由一个基本子波函数的不同尺度的平移和展开组成。它的特点是时间和宽频率的乘积很小，并且集中在时间和频率轴上。3.3.6小波分析在图像处理中的应用，小波特征：A)能量集中B)易于控制子带噪声C)与人类视觉系统一致的对数特征。d)突变信号检测：由于分辨率随频率变化的特性，可以准确定位信号的上升沿和下降沿。3.3.6小波分析在图像处理中的应用：1)图像压缩：将信号小波分解成不同时间和分辨率的信号；2)正交小波变换在图像拼接中的应