高中数学新课标人教a版必修三1.3.算法案例三课时课件

算 法 案 例,(第一课时),案例1 辗转相除法与更相减损术,1. 回顾算法的三种表述：,自然语言,程序框图,程序语言,（三种逻辑结构）,（五种基本语句）,2. 思考：,小学学过的求两个数最大公约数的方法？,先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.,1、求两个正整数的最大公约数,（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数,所以，25和35的最大公约数为5,所以，49和63的最大公约数为7,2、除了用这种方法外还有没有其它方法？,算出8256和6105的最大公约数.,辗转相除法（欧几里得算法）,观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程,第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146,结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。,第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。,为什么呢？,思考：从上述的过程你体会到了什么？,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数,思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？,S1：用大数除以小数,S2：除数变成被除数，余数变成除数,S3：重复S1，直到余数为0,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,m = n q r,用程序框图表示出右边的过程,r=m MOD n,m = n,n = r,r=0?,是,否,思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？,1、辗转相除法（欧几里得算法）,（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。,（2）算法步骤,第一步：输入两个正整数m,n(mn).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r0,则m,n的最大公约数等于m； 否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数m.,（3）程序框图,（4）程序,INPUT “m,n=“;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND,九章算术更相减损术,算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,2、更相减损术,（1）算理：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。,（2）算法步骤,第一步：输入两个正整数a,b(ab);第二步：若a不等于b ,则执行第三步；否则转到第五步；第三步：把a-b的差赋予r;第四步：如果br, 那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步；第五步：输出最大公约数b.,（3）程序框图,（4）程序,INPUT “a,b=“;a,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND,输入a,b,是,否,b=r,a=b,r=a-b,a=r,否,是,例3 用更相减损术求98与63的最大公约数,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,9863356335283528728721217211477,所以，98和63的最大公约数等于7,先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4,例3、求324、243、135这三个数的最大公约数。,思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。,练习：用更相减损术求下列两数的最大公约数：（1）（225，135） （2）（98，196）（3）（72，168） （4）（153，119）,45,98,24,17,比较辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到,小结,作业：,P 48 1,秦九韶算法,算 法 案 例,第二课时,1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（ ）和（ ）。2、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ）A、2709 B、2606 C、2703 D、2706,复习引入:,新课讲解:,思考,怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？,计算多项式() =当x = 5的值的算法：,算法1：,因为() =,所以(5)=55555,=3125625125255,= 3906,算法2：,(5)=55555,=5(5555 ) ,=5(5(555 ) ) ,=5(5(5(5+5 +) + ) + ) +,=5(5(5(5 (5 +) + )+)+) +,分析：两种算法中各用了几次乘法运算？和几次加法运算？,算法1：,算法2：,共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。,共做了4次乘法运算，5次加法运算。,数书九章秦九韶算法,对该多项式按下面的方式进行改写：,思考：当知道了x的值后该如何求多项式的值？,这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？,要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即,然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即,最后的一项是什么？,这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。,思考：在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？,通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。,秦九韶算法的特点：,例： 已知一个五次多项式为,用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。,解：,将多项式变形：,按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：,所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2,你从中看到了怎样的规律？怎么用程序框图来描述呢？,程序框图：,这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。,另解：（秦九韶算法的另一种直观算法）,5 2 3.5 -2.6 1.7 -0.8,X5,27 138.5 689.9 3451.2 17255.2,+,多项式的系数,多项式的值,25 135 692.5 3449.5 17256,0,5,(1)、算法步骤：,第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值.,第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.,第三步：输入i次项的系数an.,第四步：v=vx+ai, i=i-1.,第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v。,思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来吗？,（2）程序框图：,（3）程序：,INPUT “n=”；nINPUT “an=“;aINPUT “x=“;xv=ai=n-1WHILE i=0 PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a v=v*x+a i=i-1WENDPRINT vEND,1、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。,练习：,2、已知多项式f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。,作业：,P48 A2,小结：,1、秦九韶算法的方法和步骤2、秦九韶算法的程序框图,算法案例3,一、进位制,1、什么是进位制？,进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。,进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。,新课讲解：,比如：,满二进一，就是二进制； 满十进一，就是十进制； 满十二进一，就是十二进制； 满六十进一，就是六十进制,“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.,基数：,2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明,最常见的进位制应该是我们数学中的十进制,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.古人有半斤八两之说，就是十六进制与十进制的转换.比如时间和角度的单位用六十进位制, 计算“一打”数值时是12进制的。电子计算机用的是二进制 。,式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在个位，5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢十进一的。,我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值部分是十个不同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示的。,十进制：,例如133.59，它可用一个多项式来表示：,133.59=1*102+3*101+3*100 +5*10-1+9*10-2,实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的记数制。如时间：60秒为1分，60分为1小时，它是六十进制的。两根筷子一双，两只手套为一副，它们是二进制的。,其它进制：,二进制、七进制、八进制、十二进制、六十进制,二进制只有0和1两个数字，七进制用06七个数字,十六进制有09十个数字及ABCDEF六个字母.,为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制一般不标注基数.,例如十进制的133.59，写成133.59(10),七进制的13，写成13(7)；二进制的10，写成10(2),A,3、十进制的构成,十进制由两个部分构成,例如：3721,其它进位制的数又是如何的呢？,(用10个数字来记数，称基数为10),表示有：1个1，2个十， 7个百即7个10的平方，3个千即3个10的立方,其它进制数化成十进制数公式,二、 二进制,二进制是用0、1两个数字来描述的如11001,二进制的表示方法,区分的写法：11001（2）或者(11001)2,八进制呢？,如7342(8),k进制呢？,anan-1an-2a1(k)？,三、二进制与十进制的转换,1、二进制数转化为十进制数,例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。,解：,根据进位制的定义可知,所以，110011（2）=51,其它进制数化成十进制数公式,2、把其他进位制的数化为十进制数的公式是什么？,例2、设计一个算法，将k进制数a(共有n位)转换为十进制数b。,(1)算法步骤:,第一步，输入a,k和n的值；,第二步，将b的值初始化为0,i的值初始化为1；,第三步，b=b+ai*ki-1, i=i+1,第四步，判断in是否成立.若是,则执行第五步,否则,返回第三步；,第五步，输出b的值.,(2)程序框图:,(3)程序：,INPUT “a,k,n=”;a,k,nb=0i=1t=a MOD 10DO b=b+t*k(i-1) a=a10 t=a MOD 10 i=i+1LOOP UNTIL inPRINT bEND,方法：除2取余法，即用2连续去除89或所得的商，然后取余数。,例、 把89化为二进制数,解：,根据“逢二进一”的原则，有,892441, 2 (2220)+1, 2( 2( 2110)+0)+1, 2 (2 (2 (2 51)+0)+0)+1,5 2 21,2（2（2（2（221）1）0）0）1,89126025124123022021120,所以：89=1011001（2）,2（2（2（2321）0）0）1,2（2（242220）0）1,2（2523+2200）1,2624+230020,892441,44 2220,22 2110,11 2 51, 2 (2 (2 (2 (2 21)+1)+0)+0)+1,所以892（2（2（2（2 2 1）1）0）0）1,2、十进制转换为二进制,注意：1.最后一步商为0，2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到： 89=1011001（2）,另解（除2取余法的另一直观写法）：,5,2,2,2,1,2,0,1,0,余数,11,22,44,89,2,2,2,2,0,1,1,0,1,例1：把89化为五进制数。,3、十进制转换为其它进制,解：,根据除k取余法,以5作为除数，相应的除法算式为