大学数学 极限PPT课件

.,1.3极限概念(limit),极限概念是微积分的基本概念。极限是一种非初等运算,也是微积分学研究的基本工具.后面将要介绍的函数的连续性、导数、积分等重要概念，都是以极限为基础的。,极限是高等数学中的一种重要的研究方法。,.,极限是以发展的眼光分析事物(变量)的变化规律,通过极限我们可以深入到函数的局部去了解函数,并且体会如何在运动的过程中把握变化的事物,从而深化对客观世界的认识。,1.3.1数列的极限(limitofsequence),数列的定义：,.,按照一定规律有次序排列的无穷多个数称为数列。,记作,称为通项(一般项).,.,数列的极限,数列极限的定义，请同学们回忆一下。中国古代的极限思想：“一尺之椎，日取其半，万世不竭。”,考察当n+时，通项xn的变化趋势。,数列极限的实质：,.,例如,趋势不定,.,数列,数列当项数n无限变大时,的极限定义：,数列的各项,数值向一个常数,无限靠近，,则称常数,为该数列的极限。,记作,或,.,如果一个数列的极限存在,则称该数列是收敛(converge)；如果一个数列的极限不存在,则称该数列是发散(diverge)。,.,常数0称为此数列的极限,记作：,.,.,例如,收敛,.,趋势不定,发散,.,记作：,.,例1.已知,证明,证:,.,时，,可以无限变小,故,.,.,函数,随着自变量的变化而变化,研究函数的极限,就是研究当自变量按照某种,方式变化时所对应的,1.3.2函数的极限,(limitoffunction),函数值的变化趋势。,.,二、自变量趋于有限值时函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容:,.,1.,时,函数f(x)的极限,.,.,.,.,定义：设函数y=f(x)在x大于某个正数a时有定义,A是某确定常数,如果当自变量x趋于时，f(x)与A的距离任意小,则称函数f(x)在时以A为极限，,1.,时,函数f(x)的极限,记为,.,指数函数,.,如,.,例如.,同理:,.,正弦函数,.,余弦函数,.,对数函数,.,.,.,.,2.,时,函数f(x)的极限,.,.,.,.,.,.,.,定义：设函数y=f(x)在点x0的某空心邻域内有定义，A是某确定常数，如果当自变量x趋近于x0时，f(x)与A的距离任意小,则称函数f(x)在x趋于x0时以A为极限，,2.,时,函数f(x)的极限,记为,.,.,正弦函数,.,余弦函数,.,可以证明：以下的极限均成立,.,3.单侧极限-左极限与右极限,.,左极限:,如果当从,的左侧无限趋近,时,记着,函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当,时的左极限。记作,.,类似可定义右极限:,函数的左极限和右极限统称为单侧极限。,.,.,对数函数,.,.,例如：,.,定理1.1：,当时,函数极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，即,.,例6.设函数,讨论,时,的极限是否存在.,解:利用定理,因为,.,显然,所以,不存在.,.,.,例7问a为何值时,所给函数x=2处极限存在。,解：左极限,右极限,.,欲函数在x=2处极限存在，必须左极限,等于右极限，,即a=8,.,思考：1)研究函数极限时,是否要考虑f(x)在x=x0时的性态？为什么？2)若f(x0+0)和f(x0-0)都存在,当x趋于x0时,f(x)的极限存在吗？3)如何利用f(x0+0)和f(x0-0)来判断当x趋于x0时,f(x)的极限不存在？,？,.,4)若极限,是否一定有,？,.,常用的极限结果：,.,极限不存在的有：,.,练习：设,求：,.,.,作业NO.13:(3)分析,的复合结构