静电场中的镜像法与分离变量法

静电场镜像法和分离变量法静电场的基本问题是给定边界条件下泊松方程或拉普拉斯方程的解。本文阐述了镜像法和分离变量法在求解有无自由电荷分布问题中的应用。同时，举例说明镜像法和分离变量法的求解思路、步骤和结果，以及注意事项，并分别应用镜像法和分离变量法在相同条件下进行对比讨论。透彻理解镜像法和分离变量的方法及其特点。关键词：静电场、镜像法和变量分离法。静电场的镜像法和分离变分法静电场的基本问题是探索泊松方程或拉普拉斯方程在给定边界条件下的解。本文分别阐述了在有自由电荷分布和无自由电荷分布的待探索解区域情况下，用镜像法和分离变分法探索解的方法。同时，通过实例说明了镜像法和分离变分法解决问题的思路和步骤。它还提供了一些关于结果的讨论和在演示过程中需要注意的要点。本文还试图通过在相同条件下的对比讨论，帮助读者深入理解镜像法和分离变分法及其特点。关键词：静电场，镜像法，分离变分法。1.引言：在给定的边界条件下，静电场和电源外恒定电场边值问题的解可以概括为拉普拉斯方程或泊松方程的解。许多张文已经给出了这样的问题的解析解，即界面形状是一个相对简单的几何表面。求解这种解析形式的常用方法分别是镜像法和分离变量法。在讨论应用这种方法求解边值问题的基础上，进一步比较和讨论了镜像法和分离变量法的应用。2.静电场的静态图像法和变量分离法简介I)镜像法的拉普拉斯方程仅适用于求解没有自由电荷分布的区域。如果在解的区域有自由电荷分布，泊松方程必须求解。一个重要的特例是，该区域中只有一个或几个点电荷，并且该区域的边界是导体或介质界面。下面是解决这类问题的一种特殊方法镜像法，它也是电动力学中一种非常重要的方法。在该地区的特殊情况下，用这种方法可以简便地解决许多复杂问题。镜像法的基本思想是：如果在电场中有导体或介质界面产生原始电荷，由于静电感应或极化，导体和介质界面上会出现感应或极化电荷。在我们研究的区域之外，一些虚电荷将被用来代替场问题的边界。如果这些电荷产生的电场和电场区域中的原始电荷满足原始问题的边界条件；然后，当他们的潜力相加，我们需要的潜在解决方案是获得。这种方法叫做镜像法，虚电荷就是镜像电荷。用分离变量法求解静电学的基本问题是在给定的边界条件下求泊松方程的解。如果在研究区域中没有自由电荷分布，即(x)=0，因此泊松方程变为：y2=0(拉普拉斯方程)，则该区域中的场分布由该区域的边界条件反映。对于这类问题有一种非常重要的分析方法，即分离变量法。分离变量法是数学方程中应用最广泛的方法，也是求解拉普拉斯方程最基本的方法。它首先要求给定的边界与适当的坐标平面组合，或者至少与分段的坐标平面组合。其次，待求解的偏微分方程在坐标系中的解可以表示为几个函数的乘积，其中每个函数仅是一个坐标的函数，从而将微分方程转化为常微分方程，通过分离变量来求解。待定常数和待定函数由给定的边界条件确定，最终得到势函数解。要通过分离变量的方法找到y2=0，应根据边界的形状选择适当的坐标系。1)在直角坐标系中分离变量：势函数的拉普拉斯方程是这讨论了拉普拉斯在二维直角坐标系中分离变量的方法，其中势函数Y只是X和Y的函数，并且沿Z方向没有变化。势函数的拉普拉斯方程是：待求解的势函数Y表示为两个函数的乘积：其中x只是x的一个函数，y只是y的一个函数。将等式(1-2)代入等式(1-1)，用等式两边除以YX，得到：上述公式的左侧与y无关，右侧与x无关，当x和y取任何值时，它们是相同的。显然，只有当两边都等于一个常数时，这才有可能，把这个常数写成k2 n就叫做分离常数。当kn=0时，上述两个常微分方程的解分别为：当kn0时，解分别为：总和是一个有待确定的常数。因为拉普拉斯方程是线性的，叠加原理是适用的，所以取所有可能值的kn的解的线性组合也将是它的解，所以由公式(1-2)得到的势函数的通解是：2)柱坐标系和球坐标系中的变量分离法让我们讨论一下：圆柱坐标系中的拉普拉斯方程是：我们将只讨论二维平面场的情况，即当拉普拉斯方程变为：让当前要求解的函数的y启发式解为()()()(ffygrfr=，)并且要输入的方程被排序出来使用乘数：上述公式的第一项只是r的函数，第二项只是f的函数，因此上述公式适用于所有r和f值；显然，只有当两边都等于一个常数时，这才是可能的，因此常数为k2，分类如下：和当k=0时，f0(r)=A0r B0和当k0时，并且因此，由这些解的相应乘积叠加而成的拉普拉斯方程的通解是：上述公式中的每个常数都是由特定问题的给定边界条件决定的。类似地，在球面坐标系中，分离变量法被用来发现=0是：我们将只讨论场问题与坐标(极轴对称)无关的情况这时，拉普拉斯方程是：用分离变量的方法求其通解，求当前函数的试探解如下：，y在完成：后输入上述类型对于勒让德多项式(勒让德函数)，llBA，对于任何常数，由边界条件和边值关系决定。3.应用示例1)无限导体平面前的点电荷用镜像法解决问题，位于无限接地导体平面(z=0)附近的电荷点q和平面距离z=h的导体平面是等电位平面。所以这个问题的边界条件是常数=y(在导体平面上)由于导体接地，电位可以设置为零，需要上半空间的电场(如下图所示)显然，假设导体平面不存在当使用镜像法解决问题时，应注意适用区域，其中公式(3-1)的适用区域在导体平面的上半空间，而实际上在下半空间没有电场。至于镜像电荷应该具有什么形式，原则上没有限制，即没有必要要求镜像电荷具有形式对应、数量对应、大小对应等。带有确定的原始电荷。只要镜像电荷能够在不改变原始边界条件的情况下等效地取代溶液区域中的表面电荷场。2)将导体球置于均匀电场中将半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中，计算出电势。由于导体球在静电平衡中是等电位体，并且球的内部场为零，因此只需要球的外部场，并采用球的坐标系。原点在球的中心，极轴上的外场er是平行的。显然，电势Y此时有极轴对称性，所以它在球的外面：使用球面坐标系，我们将只讨论在坐标系中场问题独立于f的情况此时，拉普拉斯方程为：其通解是用分离变量的方法求解的，因此，当前待求解函数的试探解为：待排序问题的通解为：替代条件：获取：也就是说，4.静态图像法与分离变量法的比较我们分别研究了镜像法和分离变量法的概念和特点，已经知道了这两种方法各自的特点和性质，以及它们在解决问题中的应用给我们带来的方便。接下来，我们给出一个例子来说明镜像法和分离变量法在相同情况下的比较和讨论。真空中有一个半径为R0的接地导体球，在距离球中心a点(aR0)处有一点电荷q。找出空间中每个点的潜力。我们首先用镜像法求解(如上图所示)，假设球体中的虚点电荷Q可以用来代替感应电荷对球体上空间电场的影响。根据对称性，我们知道q应该在OQ线上。关键是是否可以选择q的大小和位置，以满足球面上y=0的条件，对于球面上的任何点p:从图中可以看出，只要选择Q的位置，就可以使Oqp OPQ :设Q是球中心的B，两个三角形相似的条件是：又那么p点在球外的电势那么，用分离变量的方法解决这个问题是什么样的呢？如右图所示，点p处的电势是点p处q产生的电势与点p处球产生的电势之和，即V的确定解如下：因此，勒让德母函数在球面上是已知的在球体上启动：获取：也就是说，分离变量法和镜像法研究中相同条件下相同问题的上述例子表明，镜像法可以解决的问题也可以通过分离变量法解决。从上面的例子中，我们可以知道分离变量的方法显然更复杂，但它是最基本的方法。5.结论经过以上讨论，镜像法在求解边值问题的解析方法中的实质可以表述如下：在我们研究的区域之外，一些假想的简单电荷分布被用来代替边界上的复杂电荷分布(即导体表面上的感应电荷或介质界面上的极化电荷)；根据唯一性定理，如果这些电荷与电场区域中的原始电荷一起产生的电场满足原始问题的边界条件；然后，将它们的电势加在一起，得到我们需要的电势解。分离变量方法的基本思想是，势函数y由两个或三个只包含一个坐标变量的函数的乘积来表示。代入偏微分方程后，原偏微分方程转化为几个常微分方程(4)分离常数和待定常数可由边界条件和初始条件确定，以获得问题的唯一确定解。基于在分离变量法和镜像法的研究中相同条件下的相同问题的上述例子，可以通过镜像法解决的问题也可以通过分离变量法解决。然而，通过分离变量的方法解决的问题可能不能通过镜像方法解决(例如，在均匀电场中寻找电介质球的电势的问题等)。)。参考1苗数学物理方法高等教育出版社，第3版，1998年6月2郭电动力学高等教育出版社1997年7月第2版3张三辉电磁学清华大学出版社第二版，1999年12月4谢楚芳，饶金科电磁场与电磁波高等教育出版社，第3版，1999年6月5英语由l L.S .格兰特W.R .菲利普斯翻译由刘起远和王明阳。