统计学基础知识

.第一章概率统计基础知识(中级)，上海质量教育培训中心，2005年，第一节概率基础知识，一，事件和概率，(一)随机现象，随机现象，在一定条件下，不一定会出现相同的结果。 特征的随机现象的结果至少有两个，其中列出可能发生的基本结果，以及人们事先不知道的样本点和随机现象。 这里的基本结果是作为今后的采样单元的采样点。 样本空间：记为，有可能是随机现象的样本点全部称为该随机现象的样本空间。(2)随机事件、事件(随机事件):由具有随机现象的样本点构成的集合。 用大写字母a、b、c表示。随机事件的特征、随机事件的关系，是ab或ba，若某个随机现象有2个事件a和b，事件a的任一个样本点不在b时，则a被包含或b包含a。 互不兼容，一个随机现象有两个事件a和b，事件a和b没有相同样本点，则a和b互不兼容。 不存在多于一个事件之间的互换性；等于:a=b=ab和ba；如果存在两个随机现象，并且样本a和b包含相同的样本点，则事件a和b等于。 例如： A=(x，y):x y=奇数)，B=(x，y):x和y的奇偶性不同)，(3)事件的运算，事件运算，对立事件： A，在一个随机现象中是样本空间，a是事件，将由中不在a的样本点构成的事件称为a的对立事件。 案件a和b的合并：由ab、案件a和b的所有取样点(只计入一次相同的)组成的新案件。 被称为a和b，发生意味着“事件a和b中的至少一个发生”，事件a和b的交往： AB或AB，由事件a和b的共同样本点构成的新事件称为事件a和b的交往。 发生意味着“事件a和b同时发生”，事件的合并和交接扩展到很多事件。 事件a对b之差： A-B，事件a中由抽样点而非b构成的新事件，称为a对b之差。 (a)A-B，(b)A-B ()，事件演算的性质：交换律：结合律：分配律：对偶律：可以用维恩图进行验证，可以扩展到3个以上的事件演算。(4)事件概率、概率事件发生可能性大小的尺度、一个随机现象中，表示任意随机事件a发生可能性大小的实数称为该事件概率，记为P(A )。 概率在0和1之间的数字，即0P(A)1。必然的事件概率是1，即P()=1。不可能的事件概率是0，即P()=0。二、概率的古典定义和统计定义，(一)古典定义，涉及的随机现象只有有限的样本点。 例如，如果具有n个采样点的个采样点出现的可能性相同(可能相等)，则事件a的概率是以统计方式定义的，且如果所调查的事件a具有k个采样点。 与调查事件a相关联的随机现象，在可以重复大量实验的次重复测试中，如果发生了事件Kn次，则事件a发生的频率为：fn(A )随着重复测试次数的增加而趋于稳定，该频率的稳定值为事件a的概率。 一般来说，以反复次数n大时的频度近似概率。、三、概率的性质及其算法、概率的性质：(由概率的定义可知)、性质1 :对于任意事件a，0p (a )1； 的性质2 :的性质3 :如果是ab，则P(A-B)=P(A)-P(B )，的性质4:P(AB)=P(A) P(B)-P(AB )，如果a和b相互不互换，则P(AB)=P(A) P(B )，的性质5 :多个相互不互换事件A1， 在A2、p(a1a2a3卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653、4、条件概率和概率的乘法规则、(1)条件概率、两个事件a和b、事件b发生的条件下，将事件a发生的概率记作条件概率，记作P(A/B )。 计算公式：性质6 :对于任意2个事件a和b，(2)有独立性和独立性的事件的概率，相互独立：有2个事件a和b，一个事件的发生对另一个事件的发生没有影响的情况下，a事件和b事件相互独立。性质7 :如果两个事件a和b相互独立，则a和b同时发生的概率为P(AB)=P(A)P(B )，性质8 :如果两个事件a和b相互独立，则在事件b发生的条件下，事件a的条件概率p(Ab )为事件a的(无条件)概率p(a )， 表示第二节随机变量及其分布、第一、随机变量、随机变量和随机现象的结果的变量被称为随机变量。 常用的大写字母x，y，z是。随机变量类型、离散随机变量和在一个随机变量仅取轴上的有限点或可排列点的情况下该随机变量是离散(型)随机变量。 另外，如果在轴上跨范围(a，b )或整个轴填充连续随机变量，例如，所有可能的随机变量的值，则该随机变量是连续(类型)随机变量。二、随机变量的分布、随机变量的分布、随机变量取值的统计规则性。 随机变量x的分布内容： X取哪个值，在哪个区间取值，X取这些值的概率是多少？ 或者x在小区间取值的概率是多少？(1)离散随机变量的分布、离散随机变量的分布可以由分布矩阵表示(离散分布)、分布矩阵或数学表达式表示：p (x=Xi )=pii=1，2， n (也称为n(p1pn=1)，pi是分布的概率函数)， (2)连续随机变量的分布用概率密度函数表示(简称为分布)，条件：p(x)0，概率密度函数p(x )的各形式在的位置不同，的散布不同，3354的形状不同。 这里，p(x )在x0点处的值p(x )不是概率，而是高度。注：纵轴原本是“每单位长度的频率”，根据频率的稳定性，使用概率代替频率，纵轴成为“每单位长度的概率”这一概率密度的概念，因此将最后形成的曲线称为概率密度曲线。重要结论：1.X在区间(a，b )取值的概率p(aXb )是概率密度曲线以下的区间(a，b )上的面积，即P(ab)=， P(axb)=P(axb )、=P(aXb )、=P(aXb )、=p (a x-b ).3、随机变量分布的平均值、方差和标准偏差、平均值：表示分布的中心位置的E(X )、方差：分布的散布此外，对于任意两个随机变量X1和X2，求平均和方差表示E(X1 X2)=E(X1) E(X2)，表示x为随机变量，a和b为任意常数，E(ax b)=aE(x) b，3354表示X1和X2彼此独立(求和的方差等于方差的和) 当这种性质可以扩展为三个或更多个独立的随机变量时，如果方差的性质不能扩展为标准偏差，则对于任何两个独立的随机变量X1和X2，(X1 X2)(X1) (X2)，方差具有正性，并且标准偏差不具有正性。四、常用分布、(一)常用离散分布、二元分布、x=0、1、n，其中n表示从n个不同元素中提取x个的组合数。、b(n，p )、二元分布平均、方差和标准偏差、平均E(x)=np、方差： Var(x)=np(1-p )、标准偏差：泊松分布：(通常用于测量过程)、x=0，1， 2，P()，其中e=2.71828，泊松分布平均值，方差和标准偏差平均值： E(X)=，方差：标准偏差：超几何分布：(不返回样本)，x=1，2，r，其中r=min(n，m )，m为包括在n中的不合格品数，n为样本量，h 超几何分布平均值，方差，标准偏差，平均值：方差：(2)连续随机变量的分布，正态分布：描述了许多质量特征x随机取值的统计规律。 正态分布概率密度函数：(-x，的分数，分数(0到1之间的实数)意味着左侧的面积正好为1-，即概率表示，右侧的面积正好为=0.5 N(0 1)分布中的u0.500.5时，如果为=0.25，则调查u0. 25=-u0. 75