高中圆的基本性质与点圆关系 知识点及试题答案

高中圆的基本概念与点圆关系 知识点与答案解析第一节 圆的基本概念1.圆的标准方程： （圆心，半径为）例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径（1）x2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y 1)2 = a2 (a0)例2 圆心在直线x 2y 3 = 0上，且过A(2，3)，B(2，5)，求圆的方程.例3 已知三点A(3，2)，B(5，3)，C(1，3)，以P(2，1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.2.圆的一般方程：（其中），圆心为点，半径（）当时，方程表示一个点，这个点的坐标为（）当时，方程不表示任何图形。例1：已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k的取值范围。解：方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，解得当时，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。例2：若（2m2+m-1）x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的图形表示一个圆，则m的值是。答案：3例3：求经过三点A（1，1）、B（1,4）、C（4，2）的圆的方程。解：设所求圆的方程为，A（1，1）、B（1,4）、C（4，2）三点在圆上，代入圆的方程并化简，得，解得D7，E3，F2所求圆的方程为。例4：若实数满足，则的最大值是_。解：由，得点P(x, y)在以（2,1）为圆心，半径r=3的圆C上，原点到圆上的点P(x, y)之间的最大距离为OCr3的最大值为。3.圆的一般方程的特点： (1)x2和y2的系数相同，不等于0。 没有xy这样的二次项。 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了。 (3)与圆的标准方程相比较，代数特征明显，而圆的标准方程几何特征较明显。4.圆的一般方程变形如果是圆，一定有（1）A=C0；（2）B=0；（3）D2+E2-4AF0。反之，也成立。例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。例2：方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时, m的取值范围是（ D ）A. B. C. D. 或例3：如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆面积最大时圆心坐标为（ ）A.（-1，1） B.（1，-1） C.（-1，0） D.（0，-1）例4：圆的圆心坐标为 ，半径为 .例5：方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆。 1：求实数m的范围。 2：求该圆半径r的范围。 3：求圆心C的轨迹的普通方程。解：(1)方程表示圆的充要条件是，即：4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)0，解之得-m1.(2)，得到r的取值范围(3)设圆心为(x，y)，则消去m得：y=4(x-3)2-1，-m1，x4，即轨迹为：y=4(x-3)2-1(x，点在圆外（2）=，点在圆上（3）0，得23b2+3。由韦达定理得x1+x2=（4b），x1x2=。y1y2=b2b（x1+x2）+x1x2=+4b.=0，x1x2+y1y2=0，即b26b+1+4b=0.解得b=1（23，2+3）。所求的直线方程为y=x+1。4.圆中的最值思想（1） 形如的最值问题，转化为动直线斜率的问题；（2） 形如m=ax+by的最值问题，转化为动直线截距的最值问题；（3） 形如m=(x-a)2+(y-b)2最值问题，转化为两点间距离的平方最值问题。如：已知点P（x,y）是圆（x+2）2+y2 =1上任意一点。（1） 求P到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2） 求x-2y的最大值和最小值；（3） 求的最大值和最小值。解：（1）圆心C（-2,0）到到直线3x+4y+12=0的距离为：所以P到直线距离的最大值为d+r=+1=,最小值为d-r=-1=。（2） 设t=x-2y,直线x-2y-t