课件高代大一各科课件5-1

5.1方阵的特征值与特征向量,5.1.1特征值与特征向量的概念5.1.2特征值与特征向量的求法5.1.3特征值与特征向量的性质,5.1.1特征值与特征向量的概念,定义5.1.1设A是数域P上n阶方阵，是P上非零n维向量，若有数P使,A(5.1.1),则称为A的特征值，为A的属于的特征向量。,从几何上看，矩阵A的一个特征向量经过作用后得到的向量A与特征向量是共线的，而比例系数就是特征向量所属的特征值。,对于数域P上给定的n阶方阵A，它可能有多个特征值，也可能没有特征值.如果A有特征值，那么A的属于的特征向量有多少呢?,定理5.1.1若1,2,s是A的属于的特征向量，则1,2,s的任何非零线性组合=k11+k22+kss也是A的属于的特征向量。,证由条件有Ai=i,i=1,2,s。,从而A=A(k11+kss)=k1A1+ksAs=k11+kss,=(k11+kss)=。,故由定义5.1.1，是A的属于的特征向量,证毕.,由定理5.1.1可知，若A有特征值，则A的属于的特征向量有无穷多个.相反，若已知A有特征向量，则只能属于A的一个特征值.事实上，若属于A的特征值1，2，则A=1，A=2，从而1=2，,得(12)=0，由于特征向量0，故12=0，即1=2.下面给出寻找特征值与特征向量的方法.,5.1.2特征值与特征向量的求法,设A=(aij)nn是数域P上的n阶方阵，若是A的特征值，,是A的属于的特征向量，由,A=,得,A=0,(EA)=0.,即,注意EA是一个n阶矩阵，把看作未知向量，式(5.1.2)就是一个齐次线性方程组,(5.1.3),由于0，故x1,xn不全为零，即x1,xn是(5.1.3)的非零解.而齐次线性方程组(5.1.3)有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零,即,定义5.1.2设A是数域P上的n阶方阵，是在P上取值的变量.矩阵EA称为A的特征矩阵.行列式,(5.1.4),称为A的特征多项式.它是数域P上以为变元的一个n次多项式.,上面分析说明，如果是方阵A的特征值，则必是A的特征多项式的一个根；反之，如果是A的特征多项式在数域P中的一个根，则齐次线性方程组(5.1.3)必有非零解.这样，就是A的一个特征值，而式(5.1.3)的非零解=(x1,xn)T就是A的属于的特征向量.,综上所述，确定方阵A的特征值与特征向量的方法分为以下几步:,(1)写出A的特征多项式|EA|，并求出它在数域P中全部的根(称为A的特征根)，这些根也就是A的全部特征值;,(2)把所求得的特征值逐个地代入方程组(5.1.3)，对每个特征值解方程组(5.1.3)，求出它的基础解系，它们就是属于这个特征值的线性无关特征向量.,例5.1.1求n阶数量矩阵kE的特征值与特征向量.,解kE的特征多项式为,特征多项式的根为=k，即kE的特征值只有k，它是一个n重特征根.,把=k代入(EkE)=0,得,0=0.,这说明任何非0向量都是kE的特征向量.直接由特征向量的定义也可知，数量矩阵kE左乘任何向量后得到k.,例5.1.2设,为实数域R上的矩阵,求A的特征值与特征向量.,解A的特征多项式为,故A的特征值是1(二重特征根)和5.,对于特征值解，齐次线性方程组，得属于特征值1的特征向量,从而属于1的全部特征值为，。,对于二重特征值，解齐次线性,例5.1.3设,为实数域R上的矩阵,求A的特征值与特征向量.,方程组，得属于特征值1的特征向量，从而属于特征值3的全部特征向量为，。,解A的特征多项式为,故A的特征值是1(二重特征根)和5.,把特征值1代入得齐次线性方程组,它的基础解系是,故属于-1的两个线性无关特征向量就是1，2，而属于-1的全部特征向量是k11+k22,其中k1,k2为不同时为零的所有实数.,再把特征值5与代入EA=0得齐次线性方程组,它的基础解系是,它就是属于5的一个线性无关特征向量.属于5的全部特征向量就是k3，kR,k0。,由上述两个例子看出，如果是特征方程的单根，那么属于的线性无关特征向量的个数只有一个；如果是特征方程的单根，那么属于的线性无关特征向量的个数可能等于的重数，也可能小于的重数。一般来讲，有如下结果。,定理5.1.2设是n阶方阵A的k重特征值，则A的属于特征值的线性无关的特征向量的个数不超过k。,证反证法。设属于特征值的线性无关的特征向量的个数为l(lk)个，分别用表示，由习题3.4中练习题4可知，可找到n-l个n维向量，使得,),成为n维向量空间的一组基。以它们作列向量，得到n阶满秩矩阵,由于为n维向量，故可由,线性表出，且表达式唯一。设,于是,即,故,这意味着至少是A的l重特征值，而lk,这与为A的k重特征值矛盾。证毕。,5.1.3特征值与特征向量的性质,先看矩阵A的特征多项式,的形式.由于,由行列式定义，展开式中有一项是主对角线元素的连乘积：,而其余各项中至多包含n-2个主对角线的元素，它对的次数最多是n-2因此特征多项式中含的n次与n-1次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现，所以,把=0代入上式得:,从而：,(5.1.5),定义5.1.3方阵A的主对角线元素之和(a11+a22+ann)称为A的迹，记为tr(A).,定理5.1.3若n阶方阵A在数域P上有n个特征值(重根按重数计)，则A的全体特征值之和等于A的迹tr(A).A的全体特征值之积等于A的行列式A.,证设A的特征值为1,2,n,则,即,与(5.1.5)式比较即得,证毕.,推论复数域方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零.,定理5.1.4若n阶可逆阵A的特征值为1,2,n,则A1的特征值恰为1/1,1/2,1/n.,证由于A可逆，由定理5.1.3知i0(i=1,2,n)，因此1/1,1/2,1/n有意义.,设i是A的属于特征值i的特征向量，则,Ai=ii,(i=1,2,n),此式左乘A-1得i=i(A-1i),即,从而1/i是A-1的特征值.故A-1的全部特征值恰为1/1,1/2,1/n.证毕.,例5.1.4证明若是正交矩阵Q的特征值，则1/也是Q的特征值.,证设Q为正交矩阵，则,且,由定理5.1.4，1/是Q-1的特征值，从而是QT的特征值.由于,故Q与QT的特征多项式相等，即Q与QT有相同特征值.这就证明了1/也是Q的特征值.,例5.1.5设A是准对角阵,则A1,A2,As的所有特征值就是A的全部特征值.,证令Ei(i=1,2,s)是与Ai(i=1,2,s)同阶的单位阵，则有,从而A的特征多项式是所有Ai(i=1,2,s)的特征多项式之积.故Ai(i=1,2,s)的所有特征值就是A的全部特征值.,下面给出特征向量的一个重要性质.,定理5.1.5若1,2,m是A的m个不同特征值，1,2,m是分别属于它们的特征向量，则1,m是线性无关的.,证对不同特征值的个数m作归纳法.,当m=1时，单个非零的特征向量总是线性无关的，定理成立.,现设对m1个属于不同特征值的特征向量定理成立，考察m个属于不同特征值的特征向量1,2,m，令,(5.1.6),用A左乘(5.1.6)式得,(5.1.7),再用m乘(5.1.6)式并与(5.1.7)式相减得,由归纳假设1,m-1线性无关，且,故k=k2=km-1=0，这时，式(5.1.6)变为,由于m0，又有km=0.这样证明了1,2,m线性无关.证毕。,更一般地有如下定理。,定理5.1.6设阶方阵有m个互不相同的特征值，而属于的所有线性无关特征向量有个:那么,由这些特征向量组成的向量组，也线性无关.,证设,(5