课件高代大一各科课件3-3

3.3向量组的秩,3.3.1向量组的秩与极大线性无关组,3.3.2向量组的等价,3.3.1向量组的秩与极大线性无关组,定义3.3.1如果向量组1,2,m的,线性表出,的一个极大线性无关组,显然，一个非零向量组必有极大线性无关组，一个线性无关的向量组的极大线性无关组就是向量组本身。,例3.3.1求向量组1=(1,-1,0)，2=(0,1,2)，3=(2,-3,-2)的极大线性无关组。,解由于1,2线性无关，3=21-2,所以1,2是该向量组的的一个极大线性无关组。显然1,3与2,3也是这个向量组的极大线性无关组。,从这个例子可以看出，一个线性相关的非零向量组，一定存在极大线性无关组，并且它的极大线性无关组不是唯一的。那么，同一个向量组的不同的极大线性无关组所含向量的个数是否相同?下面将回答这一问题。,定理3.3.1如果向量组1,2,m中的每一个向量均可由向量组1,2,r线性表出，并且mr，那么向量组线性相关。,证设,由条件,以这两个向量组的向量为行向量(m+r)n矩阵C,然后对矩阵C作做初等行变换，得到,于是R(C)=R(C1)。,设A=(1,2,m)T，则R(A)R(C)=R(C1)rm，由定理3.2.3,向量组1,2,m线性相关。证毕。,推论如果向量组1,2,m中的每一个向量均可由向量组1,2,r线性表出，并且1,2,m线性无关，那么mr。,定理3.3.2一个向量组中任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。,证设向量组1,2,m的两个极大线性无关组分别为,要证s=r。,线性无关，由定理3.3.2,的推论,rs；同理可证,sr,于是,s=r。,定义.3.3.2向量组1,2,m的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为R1,2,m,全由零向量组成的向量组的秩规定为零。,由向量组秩的定义，线性无关的向量组的秩等于向量组中所含向量的个数；若向量组的秩小于向量组中所含向量的个数，则向量组必然线性相关。,例3.3.2设向量组1,2,m的秩为r，试证1,2,m中任意r个线性无关的向量均为该向量组的一个极大线性无关组。,任意r个线性无关的向量，只需证明1，,线性表出即可。,事实上，若存在该向量组中某一个向量,2,m中任意一向量,可由,(1i0m)使,线性无关,那么R1,2,mr+1此,为向量组1,2,m的一,个极大线性无关组。,与题设矛盾。因此,对于任意i,(1im),这个例子提供了求一个向量组的部分组为其极大线性无关组的方法。,对于向量组1,2,m，我们可用如下方法求它的极大线性无关组：,首先取向量1,如果10，可保留1；其次取向量2，如果1与2对应分量成比例删去2，否则保留2，不妨设1,2线性无关；接着再取向量3，若1,2,3线性相关，删去3若它们线性无关，则保留下来；接下去取向量4，如此这般一直进行下去，直到,把向量组中所有向量考察一遍，即可得到该向量组的一个极大线性无关组.这个方法称为逐个“扩充法”。,例3.3.3设向量组1=(0,0,-1,1),2=(1,1,-1,0),3=(2,2,-1,-1)4=(-1,-1,0,0),求它的一个极大线性无关组及该向量组的秩。,解由于10，保留1;又2k1,即1与2线性无关，保留2；因3=22-1,所以1,2,3线性相关，,删去3；最后考察4,显然1,2,4线性无关，保留4,。于是1,24就是该向量组的一个极大线性无关组，且向量组的秩等于3。,3.3.2向量组的等价,定义3.3.3设向量组,若向量组()中的每一个向量可由向量组（）线性表出，同时向量组（）中的每一个向量可由向量组()线性表出，亦即它们可以互相线性表出，则称向量组()与向量组（）等价。,等价向量组具有如下性质：,（1）自反性任何一个向量组都与它自身等价；,（2）对称性若向量组()与向量组（）等价，则向量组（）也与向量组()等价；,（3）传递性若向量组()与向量组（）等价，向量组（）也与向量组()等价，则向量组（）也与向量组()等价。,由向量组等价的定义，定理3.3.1和定理3.3.2，容易得到等价向量组的下列性质：,性质1向量组都与它的任一极大线性无关组等价；,性质3任何两个等价的向量组的秩相等。,性质2任何两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相同；,定理3.3.3若向量组（）：,可由向量组（）：,线性表出,且向量组（）的秩为p，向量组（）的秩为q，则pq。,证设向量组（）和（）的极大线性无关组分别为,（）：,（）：,因为向量组（）可由（）线性表出，向量组（）可由（）线性表出,而已知向量组（）可由（）线性表出，所以向量组（）可由（）线性表出.由定理3.3.1的推论，pq，证毕。,例3.3.4证明n维向量组1,2,n线性无关的充要条件是n维基本单位向量组1,2,n,可由1,2,n线性表出。,证必要性设1,2,n线性无关。对任一i(1in)，1,2,n,i为n+1个n维向量组成的向量组，必然线性相关，而1,2,n线性无关，由定理3.2.2,i可由1,2,n线性表出.由i的任意性，1,2,n可由1,2,n线性表出。,充分性已知向量组1,2,n可由1,2,n线性表出，由定理3.3.3,R1,2,nR1,2,n。,而R1,2,n=n，R1,2,nn。于是R1,2,n=n。故1,2,n线性无关。,关于向量组的秩和矩阵的秩的关系，我们有如下定理：,定理3.3.4矩阵A的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩。,证先证明矩阵A的秩等于它的行向量组的秩。,设,且,若r=m，则1,2,n线性无关，由定理3.2.3的推论1，R(A)=m。,若rm，则向量组1,2,n的任一极大线性无关组中只含有r个向量，不妨设为1,2,r。那么矩阵A的前r行中必有一个r阶子式不等于零。由于向量组,1,2,n中任意r+1个向量线性相关，则矩阵A中所有的r+1阶子式都等于零。因此R(A)=r。,注意到,即知矩阵A的秩等于它的列向量组的秩。证毕。,R(A)=R(AT)=矩阵AT的行秩=A的列秩,例3.3.5求向量组,的秩及它的一个极大线性无关组.,解以向量1,2,3,4为列组成矩阵A对其进行初等行变换，则,=,所以R1,2,3,4,=R(A)=R(B)=3。由B容易看出，1,