同济大学微积分

.,预备知识,.,1.集合的概念,在数学中，把具有某种特定性质的事物组成的总体称,否则，记为,一、集合,如果元素在集合中，记为,为一个集合.集合中的事物称为该集合的元素.,.,只有有限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集.,常用数集:,自然数集:,整数集:,有理数集:,复数集:,.,2.集合的运算,集合的交:,集合的并:,集合的差:,设是两个集合，由此定义如下几个集合：,.,集合的运算满足如下运算率：,交换率:,结合率:,分配率:,.,3.区间和邻域,开区间:,闭区间:,设是实数，且,.,半开半闭区间:,.,无穷区间:,注意：无穷端不能写成闭的记号,.,设是实数，且则定义点的邻域为集合：,邻域：,.,如果把邻域的中心去掉，所得到的集合称为点的空,心邻域：,.,1.映射的概念,二、映射,设是两个非空集合，如果存在一个法则使得,而元素称为的象，记作，即,对中的每个元素按此法则在中有唯一的元素,与之对应，那么称为从到的映射，记作,.,.,例设,则是到的映射.,例设,则是到的映射.,.,2.几类重要映射,一一对应：既单又满的映射称为一一对应.,例在前面的两例中，例2是一一对应，而例1则不是.,设是到的映射.,满射：若即使得,单射：若则必有,.,3.逆映射与复合映射,则：,逆映射：设是到的一一映射，则对中任一元素,例设,可以确定中的唯一元素满足称此对应,关系为映射的逆映射，记为,.,复合映射：设有映射其中,称此映射为由构成的复合映射，记为,由此可以确定一个从到的映射,.,例：设,则复合映射为,.,1.概念,三、一元函数,从数集到实数集的任一映射称为定义在上的,称为的图象.而数集则称为函数,一元函数，通常记为而中的集合,的定义域.,.,注：在以后的讨论中，更多的是函数的定义域以默认的,例则定义域为,例则定义域为,方式给出，即定义域为使表达式有效的一切实数.,.,以下例中函数的定义域均为实数集。,例3符号函数,.,例取整函数,.,2.函数的几种特性,有界,无界,有界性设函数的定义域为数集,如果都有就称,在上有界,否则称为无界函数.,.,例在上是有界函数，,在上无界.,.,域内是无界函数.,例试说明函数在的任何空心邻,解设，取，,其中,则,所以无界.,.,.,单调性设函数的定义域为区间,如果对任意的当时，总有,则称函数为区间上的单调增加函数；,如果时，总有,则称函数为区间上的单调减少函数.,.,图形特征：,单调增加函数图形,单调减少函数图形,.,奇偶性设函数的定义域为关于原点对称，,如果对任意的都有,就称为偶函数；,如果对任意的都有,就称为奇函数.,.,图形特征：,偶函数,奇函数,.,使得对任意的当总有,通常我们说的周期指的是最小正周期.,周期函数设函数的定义域为如果存在数,就称为周期函数，称为的周期.,例如，的最小正周期是,.,例：狄利克雷函数,则任何非零有理数都是其周期，但没有最小正周期.,.,3.反函数和复合函数,反函数设函数是一一对应，则其逆映,注：习惯上用表示为自变量，所以函数的,射为的反函数.,的反函数仍表示为,.,注：函数与它的反函数的图形,关于对称.,.,复合函数复合函数本质上是复合映射在函数上的推广.,当复合映射定义中的几个集合均为数集时，即得到复合,函数的定义.,.,4.基本初等函数,幂函数（是常数）,.,指数函数,.,对数函数,.,三角函数,正弦函数,余弦函数,.,正切函数,余切函数,.,正割函数,余割函数,.,反三角函数,反正弦函数,反余弦函数,.,反正切函数,反余切函数,.,5.初等函数,由常数函数及基本初等函数经有限次的四则运算和,