齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的构造(解法)一、一阶线性方程的解法在r(A)=r n情况下，可以设为r(A |b)=n 1 .唯一的解：线性方程有唯一的解【例题4】求解线性方程式解答：这样，方程式有唯一的解，所以方程式的解无解：线性方程式无解(或阶梯形方程式出现时，原方程式无解)。【例题5】求解线性方程式解：因为看得见，原方程没有解无穷多解：线性方程有无穷多解【例题6】求解线性方程式解答：这样，方程有无穷解，其联立方程(但是，自由未知量)得到原方程式的特解另外，原方程导出组的同解方程为(在此为自由未知量)令、得令、得导出群的基础解系统。因此，原方程式解为(，) .【例题7】线性方程式：求的所有解解答：这样，方程有无穷解，其联立方程(此处为自由未知量)令，可以得到元方程的特解另外，原方程式的导出组的同解方程式是(其中自由未知量)命令(注：此处取单位向量的倍数以去除取-2的分母)导出群的基础解系统因此，原方程的解是().【例题8】求非齐次线性方程的所有解。解答：所以，非齐次线性方程式有无限的解，取自由未知量的话原始方程与方程同解取自由未知量可得到原方程的特解求其导出组的基础解系，其导出组与方程同解个别取得自由未知量，代入上式得到其导出组的基础解系统，如下所示原则方程的所有解如下：三、证明和判断【例题9】已知是次数线性方程式AX=0的基础解系数，还证明是次数线性方程式AX=0的基础解系数。证明：次线性方程AX=0的基础解系数包含3个解向量，从次线性方程解的性质可知是AX=0的解，因此证明无线性即可。设定存在数成立。整理： (1)众所周知是齐次线性方程式AX=0的基础解系统，与线性无关，由(1)得到，与线性无关地求解。也就是说，是一次线性方程式AX=0的基础解系统。众所周知，是齐次线性方程式AX=0的基础解系数。讨论t满足什么样的条件，是齐次线性方程式AX=0的基础解系解：首先是齐次线性方程AX=0的解，只证明线性众所周知不管线性如何因此，在t 1时，是下一个线性方程式AX=0基本解系统.【例题11】已知n次矩阵a的各行元素之和全部为零且r(A)=n-1，求线性方程式AX=0的解。解：由r(A)=n-1得知的AX=0的基础解系统中有非零的解向量此外，即(k是任意常数)是求出解.【例题12】x1、X2、Xt为非齐次线性方程式AX=b0的解向量证明： x0=k1 x1 k2 x2关于kt XT在k1 k2 kt=1的情况下，X0是AX=b的解，即k1 k2 kt=0的情况下，X0是AX=0的解。证书： ax0=a (k1x1k2x 2ktxt )=k1ax1k2ax 2ktaixt=k1b2bktb=(k1k 2kt ) b因此，在k1 k2 kt=1情况下，AX0=bk1 k2 kt=0时，AX0=0由此可知，非齐次方程的解不一定关于线性组合，仅在组合系数之和等于1时，解向量组的线性组合才是非齐次方程的解【例题13】已知的两个不同的解是一个基础解系统.任意的常数.的情况下的通解是() 答案b .图14是设四维非齐次线性方程式AX=b的三个解向量、将矩阵a的秩设为3、求AX=b的解的图。解：因为a的秩为3，所以AX=0的基础解系包含4-3=1个解向量。根据线性方程解的性质，AX=0的解AX=0的非零解如下求解。AX=b解释如下：【例题15】a为4次方矩阵，(0 )为41矩阵，或者解我很满意求方程式的解解：首先求得的特解求另一个基础解系，线性无关，所以是基础解系因此方程的解是任意常数【例题16】矩阵A=。证明： AB=0的充分条件是矩阵b的每一列向量为联立方程式AX=0的解。证明：按列分