现代控制理论(第二章)

2.1线性稳态方程的解(自由解)、2.2矩阵指数函数状态转移矩阵、2.3线性稳态非齐次方程的解、2.4*线性时变系统的解、2.5*离散时间系统状态方程的解、2.6*连续时间状态空间方程的离散化、第二章控制系统状态空间方程的解、2.1线性稳态方程的解(自由解)、 所谓系统自由解，是指在系统输入零时，由初始状态引起时，状态方程式为一次微分方程式： (1)，如果给出初始时刻的状态，则式(1)中唯一有解： (2)，初始时刻开始时，该解为： (3)，证明与标量微分方程式解类似，若假定式(1)的解为向量幂级数形式，则式(4)既然是式(1)的解，则式(5)对于任意的时刻成立，因此同次幂项的系数必须相等有： 在式(4)中，令可：将以上的结果代入式(4)，因此， (6)，式的右边括号内的展开式是矩阵，其是矩阵指数函数，即，记为(7)，因此，若将式(6)表示为：则还能够证明式(2)的正确性。 或者，2.2矩阵指数函数状态转换矩阵，2.2.1状态转换矩阵，齐次微分方程(1)的自由解称为状态转换矩阵，因为此方程反映了状态向量从初始状态到任何时间点的向量转换关系，并且反映了状态向量在空间上随时间转换的规律。 2.2矩阵指数函数状态转换矩阵，注意：状态矩阵通常不是常数，并且可以任意取得时间的函数开始向量，系统求解部分可以任意选择：状态空间方法的优点2.2.2状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质，注意该性质可以用于确定矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，这说明矩阵和a矩阵可以交换。 注：本性质还表明可以从状态转移矩阵中逆算a！ 5 .性质5，对于方阵a和b，如果仅AB=BA，那么如果ABBA，此性质提示各目标矩阵指数函数的乘积不等于和矩阵指数函数，除非距离矩阵a和b不能交换。 这与标量指数函数的性质不同。 4 .如果性质是4，1.a是对角矩阵，则(5)，2 .如果a可以通过非特异性变换来对角化，也就是说，2.2.3的一些特殊矩阵指数函数，如果3.a是约旦矩阵，则可以基于(8)，4 .如(9)，1 .的定义来直接计算，2 .变换a为其中，t是将a转换为对角线矩阵的转换矩阵。 根据式(7) :2.2.4的计算，编程，用计算机计算，最终得到收敛解。 但是，很难得到解析解。 例2-1，3 .利用拉斯反变换法求出，(10 )证明齐次微分方程式，进行两侧的拉斯变换，也就是说，应用.4 .凯莱-汉密尔顿定理求出，通过进行上式两侧的拉斯反变换，得到齐次微分方程式的解： (1)凯莱-汉密尔顿定理，方a求出自身的特征方程式(2)在定义中，通过上述方法可知a的应n以及n以上的项，即(11 )、(3)的计算式、a的特征量不同时，由于a满足自身的特征方程式的定理，因此还必须满足式(11 )，因此，(12 )、式能够如果a的所有特征值都相同，则重复以上步骤： (13 )，重复上述方程对，求异数，有：再求异数，有：最后：上述方程的n个方程，对求解，存储方程(13 )。.2 )用标准的方法求出特征量互不相同，变换为对角标准的方法，a求出朋友矩阵、特征量：例2-1 例2-3和例2-7也要注意自学！2.3线性稳态系统非齐次方程的解，现探讨线性稳态系统控制作用下的强迫运动。 此时的状态方程式为非齐次矩阵微分方程式：初始时刻初始状态时，解为：式中。 (1)、(2)初始时刻为初始状态时，其解为、式中。 (3)证明如标量微分方程式那样求解的方法，将式(1)乘以：式的两侧，对式(4)进行上间积分，有：整理并对式(2) :同样地，对式(4)进行上积分，则能够证明式(3)。 式(2)也可以由拉斯变换法求出，对式(1)进行拉斯变换是：也就是说，将式乘以左，注意到式(5)、式(5)右边第二项。 这里，向卷积拉斯变换(即方程式(5) )代替两个拉斯变换函数的乘积，并且通过特定控制操作(例如，脉冲函数、阶梯函数和斜坡函数)使得系统分析方程式(2)可以简化为下列方程式：1.冲激响应，即当时的2 .步骤3 .斜率响应，即，当时，(6)、(7)、(8)、例2-8要求把握，例2-8 :用已知系统状态方程式求解该系统的单步响应。 解法1 :积分法，例2-8 :用已知的系统状态方程式求解该系统的单位阶跃响应。 解法2 :为探讨拉斯变换法、2.4*线性时变系统解、2.4.1时变系统状态方程的解特征、时变系统状态方程的求解方法，现在探讨标量时变系统：采用分离变量法，写上式：积分上式两侧： (1)、因此，(2)或者：成为稳态系统的齐次状态方程式的求解式，式(2)中的也可以表示为状态转移矩阵，在这种情况下，选择状态转移矩阵不仅是时间t的函数。 因此，用符号表示该二元函数： (3)、式(3)关系式是否也能够推广到向量方程式中，遗憾的是，仅在满足乘法可交换条件的情况下，上述关系成立。 现在，如果是下式的解，则必须展开成(6)、幂级数： (7)、(8)、(9)、在式(7)的两侧进行左乘法运算：将式(8)与式(9)进行比较，证明成立所需要的足够的条件是，(10 )，即可乘法运算。 但是，这个条件太苛刻，一般不成立。 因此，时变系统的自由解通常不能像稳态系统那样写出封闭的形式。 2.4.2线性时变二次矩阵微分方程的解可表示为状态转变的形式，尽管线性时变系统的自由解不能像稳态系统那样写入闭合的分析形式。 在齐次矩阵微方程式：(11 )式中，与上述线性稳态系统类似的也不是奇异的正方阵，而是证明了将解式(12 )代入式(11 )的矩阵微分方程式和初始条件：在式(12 )中，满足式(13 )、式(14 )的是用式(12 )求出的是齐次微分方程式(11 )的解2.4.3状态转移矩阵的基本性质与线性稳态系数的转移矩阵类似，同样为：因此式(15 )成立。 参照式(14 ) . 此外，从式(14 )和式(15 ) :或右乘法、左乘法、式(16 )成立，因此在非特异矩阵中，其逆存在且相等。 在这里一般不能更换。2.4.4线性时变系统的非齐次状态方程的解，线性时变系统的非齐次状态方程为：并且元素在时间区间逐步连续，其解为： (17 )、(18 )，证明线性系统满足叠加原理，因此公式(17 )的解由初始状态的转变和受控制作用激励的状态的转变两部分构成即(19 )、代入式(17 )、有：有：有： t . t区间积分，有：然后用式(19 )命令，注意其中，可以得到式(18 )。 2.4.5状态转移矩阵的计算，因为a是常量矩阵，所以上式是直接：在稳态系统中，齐次状态方程式的解是：在式中，只有关系。 另外，在时变系统中，对齐次状态方程的解通常是：先前已被证明并且可互换的，即，计算时变系统通常使用级数近似法或者.(21 )，其中，(20 )、唯一的： (一般而言)不满足方程式(20 )，并且该关系式的证明是非常简单的，并且可知，式(21 )满足式(13 )和式(14 ) . 或者，对于2.5*离散时间系统的状态方程式的解、2.5.1递归法、线性稳态离散时问控制系统的状态方程式可以用：或者，(1)，即(2)，2.5.2Z变换法、线性稳态离散系统的状态方程式也可以用z变换法求解。 设定常离散系统的状态方程式是：对上式的两端进行z变换是：或者，所以：对上式的两端进行z的逆变换，将(3)，上式2 )和式(3)进行比较，有(4)、(5)，为了得到采样的瞬时问题的状态和输出，在该采样周期内，即， 利用连续状态方程求解的公式：为了强调f的有效期(在此为01 )可以将公式改变为下式：(6)显然，该公式的形式与离散状态方程完全一致，只要的值在0和1之间变化，就可以对瞬时的所有状态和输出信息进行采样式(2)和式(3)比较，两者的形式不同，但实际上完全相同。2.6*连续时间状态空间方式的离散化、2.6.1离散化方法、连续时间的状态空间方式：将其离散化后，离散时间状态空间方式：c和d如式(1)所示。 (1)、(2)，2.6.2近似于离散化，在采样周期t较小的情况下，一般而言，如果是系统最小时间常数的l/10左右，则离散化的状态方程式可以表示为2.6.3线性时变系统的离散化，1 .线性时变系统的离散化，原系统的状态空间公式为：离散化的状态空间公式为：依照时变系统的证明方法，可求出上式中的7，在此直接写入其结果：(8)，(11 )，(9)，(10 )，