高等数学 微分方程PPT课件

微分方程,第七章,积分问题,微分方程问题,推广,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第七章,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,切线斜率为2x,求该曲线的方程.,引例2.列车在平直路上以,的速度行驶,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程.,即求s=s(t).,制动时,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),(n阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地,n阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,引例2,引例1,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,例1.验证函数,是微分方程,的通解,的特解.,解:,这说明,是方程的解.,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,求所满足的微分方程.,例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q,解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标,即,点P(x,y)处的法线方程为,且线段PQ被y轴平分,转化,可分离变量微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,分离变量方程的解法:,设y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,方程的解满足关系式。,则有,设左右两端的原函数分别为G(y),F(x),分离变量方程的解法:,反之，当G(y)与F(x)可微且G(y)g(y)0时,的隐函数y(x)是的解.,称为方程的隐式通解,或通积分.,同样,当F(x)=f(x)0时，,由确定的隐函数x(y)也是的解.,说明由确定,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,例3.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C为任意常数),所求通解:,练习:,解法1分离变量,即,(Ck),1)无振荡现象;,此图参数:,2)对任何初始条件,即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.,临界阻尼解的特征:,(n=k),任意常数由初始条件定,最多只与t轴交于一点;,即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.,2)无振荡现象;,此图参数:,例4.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例5.,解:特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,原方程有特解,例6.,解:特征方程:,即,其根为,方程通解:,例7.,解:特征方程:,特征根为,则方程通解:,内容小结,特征根:,(1)当,时,通解为,(2)当,时,通解为,(3)当,时,通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.,思考与练习,求方程,的通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,作业P3401(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3,常系数非齐次线性微分方程,第八节,一、,二、,第七章,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,一、,为实数,设特解为,其中为待定多项式,代入原方程,得,为m次多项式.,(1)若不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,Q(x)为m次待定系数多项式,(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为,(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,即,即,当是特征方程的k重根时,可设,特解,例1.,的一个特解.,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,例2.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,二、,第二步求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步将f(x)转化为,第三步利用叠加原理求出原方程的特解,第四步分析原方程特解的特点,第一步,利用欧拉公式将f(x)变形,第二步求如下两方程的特解,是特征方程的k重根(k=0,1),故,等式两边取共轭:,为方程的特解.,设,则有,特解:,第三步求原方程的特解,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:,原方程,均为m次多项式.,第四步分析,因,均为m次实,多项式.,本质上为实函数,小结:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的k重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,例4.,的一个特解.,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,例5.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,例6.,解:(1)特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2)特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,内容小结,为特征方程的k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的k(0,1)重根,则设特解为,3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1.(填空)设,.,112,作业,P3471(1),(6),(10);2(2);3,一阶微分方程的,习题课(一),一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,解法及应用,第七章,一、一阶微分方程求解,1.一阶标准类型方程求解,关键:辨别方程类型,掌握求解步骤,2.一阶非标准类型方程求解,变量代换法,代换因变量,代换某组合式,三个标准类型,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,代换自变量,例1.求下列方程的通解,提示:(1),故为分离变量方程:,通解,(2)这是一个齐次方程，,令y=ux,化为分离变量方程:,方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.,化为,例2.求下列方程的通解:,提示:(1),令u=xy,得,(2)将方程改写为,(伯努利方程),(分离变量方程),原方程化为,令y=ut,(齐次方程),令t=x1,则,可分离变量方程求解,化方程为,例3.,设F(x)f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(,+),内满足以下条件:,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;,(2003考研),(2)求出F(x)的表达式.,解:(1),所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:,(2)由一阶线性微分方程解的公式得,于是,练习题:,(题3只考虑方法及步骤),P353题2求以,为通解的微分方程.,提示:,消去C得,P353题3求下列微分方程的通解:,提示:令u=xy,化成可分离变量方程:,提示:这是一阶线性方程,其中,P353题1，2，3(1),(2),(3),(4),(6),(9),(10),提示:可化为关于x的一阶线性方程,提示:为伯努利方程,令,提示:可化为伯努利方程,令,公式,提示:为可降阶方程,令,原方程化为,即,则,故原方程通解,提示:令,例4.设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=h,一鸭子从点A游向点,二、解微分方程应用问题,利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.,为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,提示:如图所示建立坐标系.,设时刻t鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为b,求鸭子游动的轨迹方程.,O,水流速度大小为a,两岸,则,关键问题是正确建立数学模型,要点:,定解条件,由此得微分方程,即,鸭子的实际运动速度为,(自己求解),(齐次方程),思考:能否根据草图列方程?,练习题:,P354题5,6,P354题5.已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.,提示:设曲线上的动点为M(x,y),令X=0,得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它的切线在纵,P354题6.已知某车间的容积为,的新鲜空气,问每分钟应输入多少才能在30分钟后使车间空,的含量不超过0.06%?,提示:设每分钟应输入,t时刻车间空气中含,则在,内车间内,两端除以,并令,与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出),得微分方程,(假定输入的新鲜空气,输入,的改变量为,t=30时,解定解问题,因此每分钟应至少输入250,新鲜空气.,初始条件,得,k=?,作业P3043,7;P310*4(2);P3157(2),(4),第六节,二阶微分方程的,习题课(二),二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第七章,一、两类二阶微分方程的解法,1.可降阶微分方程的解法降阶法,令,令,逐次积分求解,2.二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,欧拉方程,练习题:P353题2(2);3(6),(7);4(2)；,解答提示,P353题2(2)求以,为通解的微分方程.,提示:由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P353题3求下列微分方程的通解,提示:(6)令,则方程变为,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思考,若(7)中非齐次项改为,提示:,原方程通解为,特解设法有何变化?,P354题4(2)求解,提示:令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时正负号如何确定?,特征根:,例1.求微分方程,提示:,故通解为,满足条件,解满足,处连续且可微的解.,设特解:,代入方程定A,B,得,得,处的衔接条件可知,解满足,故所求解为,其通解:,定解问题的解:,例2.,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,思考:设,提示:对积分换元,则有,解初值问题:,答案:,的解.,例3.,设函数,内具有连续二阶导,(1)试将xx(y)所满足的微分方程,变换为yy(x)所满足的微分方程;,(2)求变换后的微分方程满足初始条件,数,且,解:,上式两端对x求导,得,(1)由反函数的导数公式知,(2003考研),代入原微分方程得,(2)方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得A0,从而得的通解:,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,二、微分方程的应用,1.建立数学模型列微分方程问题,建立微分方程(共性),利用物理规律,利用几何关系,确定定解条件(个性),初始条件,边界条件,可能还有衔接条件,2.解微分方程问题,3.分析解所包含的实际意义,例4.,解:,欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球,引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.,设人造地球卫星质量为m,地球质量为M,卫星,的质心到地心的距离为h,由牛顿第二定律得:,(G为引力系数),则有初值问题:,又设卫星的初速度,代入原方程,得,两边积分得,利用初始条件,得,因此,注意到,为使,因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,即,代入即得,这说明第二宇宙速度为,求质点的运动规律,例5.,上的力F所作的功与经过的时间t成正比(比例系数,提示:,两边对s求导得:,牛顿第二定律,为k),开方如何定+?,已知一质量为m的质点作直线运动,作用在质点,例6.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m,另一端离钉子12m,力,求链条滑下来所需的时间.,解:建立坐标系如图.,设在时刻t,链条较长一段,下垂xm,又设链条线密度为常数,此时链条受力,由牛顿第二定律,得,如不计钉子对链条所产生的摩擦,由初始条件得,故定解问题的解为,解得,(s),微分方程通解:,当x=20m时,思考:若摩擦力为链条1m长的质量,定解问题的,数学模型是什么?,摩擦力为链条1m长的质量时的数学模型为,不考虑摩擦力时的数学模型为,此时链条滑下来所需时间为,练习题,从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测,要求,需确定仪器的下沉深度y与下沉速度v之间的函,数关系.,设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正,比,比例系数为k(k0),试建立y与v所满足的微分,方程,并求出函数关系式y=y(v).(1995考研),提示:建立坐标系如图.,质量m体积B,由牛顿第二定律,重力,浮力,阻力,注意:,初始条件为,用分离变量法解上述初值问题得,作业P3484,6;P3533(8);4(2),(4)；7;*11(1),得,第十一节,备用题,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解.,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,1.设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,故,再积分得通解,复习:一阶线性微分方程,通解公式:,2.设函数,在r0内满足,拉普拉斯方程,二阶可导,试将方程化为以r为自变量的常微分,方程,并求f(r).,提示:,利用对称性,即,(欧拉方程),原方程可化为,且,解初值问题:,则原方程化为,通解:,利用初始条件得特解:,微分方程,习题课,第七章,一、一阶微分方程求解,1.一阶标准类型方程求解,关键:辨别方程类型,掌握求解步骤,2.一阶非标准类型方程求解,三个标准类型,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,一阶线性方程,方法1先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2用通解公式,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,高阶线性微分方程,线性齐次方程解的结构,线性非齐次方程解的结构,线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,(叠加原理),定理1.,定理2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,数)是该方程的通解.,则,线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.,则,是非齐次方程的通解.,定理4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.,定理5.,是对应齐次方程的n个线性,无关特解,给定n阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,常系数,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,若特征方程含k重复根,若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广: