广东省河源市东源县高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.5 函数的周期性练习 新人教A版必修1（通用）

1.3.5 函数的周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期周期函数yf(x)满足：(1)若f(xa)f(xa)，则函数的周期为2a；(2)若f(xa)f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(xa)，则函数的周期为2a；(4)若f(xa)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线xa与xb对称，那么函数f(x)的周期为2|ba|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b, 0)对称，则函数f(x)的周期是2|ba|；(7)若函数f(x)关于直线xa对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|ba|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为4a.函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)即可(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期 (1)已知函数f(x)如果对任意的nN*，定义fn(x)，那么f2 016(2)的值为()A0 B1 C2 D3(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)f(2)f(2 018)_.解析(1)f1(2)f(2)1，f2(2)f(1)0，f3(2)f(0)2，fn(2)的值具有周期性，且周期为3，f2 016(2)f3672(2)f3(2)2，故选C.1已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为_解析：f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1a4.答案：(1,4)2奇函数f(x)的周期为4，且x0,2，f(x)2xx2，则f(2 018)f(2 019)f(2 020)的值为_3设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1.则ff(1)ff(2)f_.解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则ff(1)ff(2)fff(1)ff(0)fff(1)f(0)21211201.答案：1设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x2,1)时，f(x)则f()A0 B1 C. D1解析：选D因为f(x)是周期为3的周期函数，所以fff4221，故选D.2函数f(x)满足f(x1)f(x)，且当0x1时，f(x)2x(1x)，则f的值为()A. B. C D解析：选Af(x1)f(x)，f(x2)f(x1)f(x)，即函数f(x)的周期为2.fff2.3(2020江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1)上，f(x)其中aR.若ff，则f(5a)的值是_4若对任意xR，函数f(x)满足f(x2 017)f(x2 018)，且f(2 018)2 017，则f(1)_.解析：由f(x2 017)f(x2 018)，得f(x2 017)f(x2 0171)，令x2 017t，即f(t1)f(t)，所以f(t2)f(t)，即函数f(x)的周期是2.令x0，得f(2 017)f(2 018)2 017，即f(2 017)2 017，又f(2 017)f(1)f(1)，所以f(1)2 017.答案：2 0175定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.求f(1)f(2)f(3)f(2 018)的值解：f(x6)f(x)，T6.当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)f(2 01