高考数学 2014全套汇编：第10章 计数原理

【数学数学】2014】2014 版版66 年高考年高考 4 4 年模拟年模拟 第十章第十章 计数原理计数原理 第一部分第一部分 六年高考荟萃六年高考荟萃 20132013 年高考题年高考题 一、选择题 1. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯 WORD 版含答案）已知 5 )1)(1 (xax的展开式中 2 x的系数为5,则a（ ） A4B3C2D1 答案：D 已知（1+ax） （1+x）5的展开式中 x2的系数为+a=5，解得 a=1， 故选 D 2. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）用 0,1,9 十个 数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ） A243B252C261D279 答案：B 有重复数字的三位数个数为9 10 10900。没有重复数字的三位数有 12 99 648C A ,所以 有重复数字的三位数的个数为900648=252，选 B. 3. （2013 年高考新课标 1（理）设m为正整数, 2 () m xy展开式的二项式系数的最大 值为a, 21 () m xy 展开式的二项式系数的最大值为b,若137ab,则m （ ） A5B6C7D8 答案：B 因为 m 为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为 a，以及二项式系数的性 质可得 a=， 同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为 b，可得 b= 再由 13a=7b，可得 13=7，即 13=7，即 13=7，即 13（m+1）=7（2m+1） 【版权所有：21 教育】 解得 m=6，故选 B 4. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） 84 11+xy的展开式中 22 x y的系数是（ ） A56B84C112D168 答案：D （x+1）3的展开式的通项为 Tr+1=C3rxr 令 r=2 得到展开式中 x2的系数是 C32=3， （1+y）4的展开式的通项为 Tr+1=C4ryr 令 r=2 得到展开式中 y2的系数是 C42=6， （1+x）3（1+y）4的展开式中 x2y2的系数是：36=18， 故选 D 5. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版）满足 ,1,0,1,2a b ,且关于 x 的方程 2 20axxb有实数解的有序数对( , )a b的个数 为（ ） A14B13C12D10 答案：B 方程 2 20axxb有实数解，分析讨论 当0a 时，很显然为垂直于 x 轴的直线方程，有解此时b可以取 4 个值故有 4 种 有序数对 当0a 时，需要440ab ，即1ab 显然有 3 个实数对不满足题意，分别为 （1,2），（2,1），（2,2） ( , )a b共有 4*4=16 中实数对，故答案应为 16-3=13 6. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版）使得 1 3 n xnNn x x 的展开式中含有常数项的最小的为（ ） A4B5C6D7 答案：B 展开式的通项公式为 5 2 1 1 (3 )()3 k n kn kkkn k knn TCxCx x x 。由 5 0 2 k n得 5 2 k n ， 所以当2k 时，n有最小值5，选 B. 7. （2013 年高考四川卷（理）从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为 , a b,共可得到lglgab的不同值的个数是（ ） A9B10C18D20 答案：C 首先从 1，3，5，7，9 这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法， 因为，所以从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a，b，共可得到 lgalgb 的不同值的个数是：202=18故选 C 8. （2013 年高考陕西卷（理）设函数 6 1 , 0 0 . , ( ) , xx f xx xx , 则当x0 时, ( )f f x表达式的展开式中常数项为（ ） A-20B20C-15D15 答案：A 当 66 - 11 -)(0）（）（时，x xx xxffx的展开式中，常数项为 20)(-) 1 ( 333 6 x x C。所以选 A 9.（2013 年高考江西卷（理）(x2- 3 2 x )5展开式中的常数项为（ ） A80B-80C40D-40 答案：C 本题考查二项式定理。展开式的通项公式为 2510 5 155 3 2 ()()( 2) kkkkkk k TCxC x x 。 由1050k，得2k ，所以常数项为 22 2 15( 2) 40TC ，选 C. 二、填空题 10.（2013 年高考四川卷（理）二项式 5 ()xy的展开式中,含 23 x y的项的系数是 _.(用数字作答) 答案：10 设二项式（x+y）5的展开式的通项公式为 Tr+1，则 Tr+1=x5ryr， 令 r=3，则含 x2y3的项的系数是=10答案为：10 11.（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版）将 FEDCBA,六个字母排成一排,且BA,均在C的同侧,则不同的排法共有 _种(用数字作答) 答案：480 ：按 C 的位置分类，在左 1，左 2，左 3，或者在右 1，右 2，右 3， 因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以 2 即可 当 C 在左边第 1 个位置时，有 A， 当 C 在左边第 2 个位置时 AA， 当 C 在左边第 3 个位置时，有 AA+AA， 共为 240 种，乘以 2，得 480则不同的排法共有 480 种 故答案为：480 12.（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）从3名骨科.4名 脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科 医生都至少有人的选派方法种数是_(用数字作答) 答案：590 【命题立意】本题考查排列组合的计数问题。骨科、脑外科和内科医生都至少有人，则名 额分配为，1,1,3；1,3,1；3,1,1 或 1,2,2；2,1,2；2,2,1.所以共有 113131311122212221 345345345345345345 590C C CC C CC C CC C CC C CC C C. 13.（2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案） 6 1 x x 的二 项展开式中的常数项为_.2-1-c-n-j-y 答案：15 展开式的通项公式为 3 6 6 2 166 1 ()( 1) k kkkkk k TC xC x x ，由 3 60 2 k，得4k 。 所以常数项为 44 4 16( 1) 15TC 。 14.（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版）设二项式 5 3 ) 1 ( x x 的展开式中常数项为A,则A_. 答案：10 ：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1=（1）r=（1）r 令=0，解得 r=3，故展开式的常数项为=10， 故答案为10 15.（2013 年高考上海卷（理）设常数aR,若 5 2 a x x 的二项展开式中 7 x项的系数 为10,则_a 答案：2a 【解答】 25 15( )( ) ,2(5)71 rrr r a TCxrrr x ，故 1 5 102C aa 16.（2013 年高考北京卷（理）将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每 人至少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是_. 答案：96 5 张参观券全部分给 4 人，分给同一人的 2 张参观券连号，方法数为：1 和 2，2 和 3，3 和 4，4 和 5，四种连号，其它号码各为一组，分给 4 人，共有 4=96 种 17.（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版）若 8 3 a x x 的展开式中 4 x的系数为 7,则实数a _. 21*cnjy*com 答案： 2 1 通项 2 1 7, 34 3 4 8)( 33 8 3 8 8 3 8 8 aaCrrxaC x a xC r r rrrrr 所以 2 1 18.（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）6个 人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种.(用数字作答). 答案：480 6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的 4 人，有 中方法， 然后把甲、乙两人插入 4 个人的 5 个空位，有种方法， 所以共有：=480 20122012 年高考题年高考题 19. （2012 天津理）在 25 1 (2)x x 的二项展开式中,x的系数为（ ） A10B10C40D40 【答案】D 【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用,并借助于通 项公式分析项的系数. 21cnjycom 【解析】 25-1 +15 =(2)() rrr r TCxx = 5-10-3 5 2( 1) rrrr C x,103 =1r,即=3r,x的系数 为40. 20. （2012 新课标理）将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社 会实践活动, 每个小组由名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（ ） A12种B10种C种 D种 【解析】选A 甲地由名教师和2名学生: 12 24 12C C 种 21. （2012 浙江理）若从 1,2,2,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同 的取法共有（ ） A60 种B63 种C65 种D66 种 【答案】D 【解析】1,2,2,9 这 9 个整数中有 5 个奇数,4 个偶数.要想同时取 4 个不同的数 其和为偶数,则取法有:4 个都是偶数:1 种;2 个偶数,2 个奇数: 22 54 60C C 种;4 个都是奇数: 4 5 5C 种.不同的取法共有 66 种. 版权所有 22. （2012 重庆理） 8 1 2 x x 的展开式中常数项为（ ） A 16 35 B 8 35 C 4 35 D105 【答案】B 【解析】 84 188 11 ()()( ) 22 rrrrrr r TCxCx x ,令404rr,故展 开式中的常数项为 44 58 135 ( ) 28 TC. 【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项. 23. （2012 四川理）方程 22 ayb xc中的, , 3, 2,0,1,2,3a b c ,且, ,a b c互不相同,在 所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有（ ） A60 条B62 条C71 条D80 条 答案B 解析方程 22 ayb xc变形得 22 2 b c y b a x,若表示抛物线,则0, 0ba 所以,分 b=-3,-2,1,2,3 五种情况: (1)若 b=-3, 2, 1, 0, 23 3, 1, 0, 2, 2 3, 2, 0, 2c, 1 3, 2, 1, 0, 2 或或或， 或或或 或或或 或或或 ca ca a ca ; (2)若 b=3, 2, 1, 0, 23 3, 1, 0, 2, 2 3, 2, 0, 2c , 1 3, 2, 1, 0, 2 或或或， 或或或 或或或 或或或 ca ca a ca 以上两种情况下有 9 条重复,故共有 16+7=23 条; 同理当 b=-2,或 2 时,共有 23 条; 当 b=1 时,共有 16 条. 综上,共有 23+23+16=62 种 点评此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的 18 条抛物线. 列举法是解 决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 24. （2012 四川理） 7 (1) x的展开式中 2 x的系数是（ ） A42B35C28 D21 答案D 解析二项式 7 )1 (x展开式的通项公式为 1k T= kkx C7,令 k=2,则 22 73 xCT 、 21Cx 2 7 2 的系数为 点评:高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式 的通项公式,其次需要强化考生的计算能力. 25. （2012 陕西理）两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出 现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有（ ） A10 种B15 种C20 种D30 种 解析:先分类:3:0,3:1,3:2 共计 3 类,当比分为 3:0 时,共有 2 种情形;当比分为 3:1 时,共有 12 42 8C A =种情形;当比分为 3:2 时,共有 22 52 20C A =种情形;总共有282030+=种, 选 D. 26. （2012 山东理）现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从 中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张.不同取法的种数 为（ ） A232 B252 C472 D484 【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选 3 张,若都不同色则有 64 1 4 1 4 1 4 CCC种,若 2 色相同,则有144 1 4 2 4 1 2 2 3 CCCC;若红色卡片有 1 张,则剩余 2 张若不同色,有192 1 4 1 4 2 3 1 4 CCCC种,如同色则有72 2 4 2 3 1 4 CCC,所以共有 4727219214464,故选 C. 27. （2012 辽宁理）一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种 数为（ ） A33!B3(3!)3C(3!)4D9! 【答案】C 【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有3!种排法, 三个家庭共有 3 3! 3! 3!(3!) 种排法;再把三个家庭进行全排列有3!种排法.因此不同 的坐法种数为 4 (3!),答案为 C 【点评】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问题的能力,属于中档题. 28.（2012 湖北理）设aZ,且013a,若 2012 51a能被 13 整除,则a （ ） A0B1C11D12 考点分析:本题考察二项展开式的系数. 解析:由于 51=52-1,152.5252) 152( 12011 2012 20111 2012 20120 2012 2012 CCC, 又由于 13|52,所以只需 13|1+a,0a0)的展开式中 x3的系数为 A，常数项为 (x a x) B，若 B4A，则 a 的值是_ 答案：2 【解析】 由题意得 Tr1C x6r rrC x6 r，r 6 ( a x)(a)r 6 3 2 A 2C ，B4C .又B4A，(a)2 6(a)4 6 4C 42C ，解之得 a24.又a0，a2.(a)4 6(a)2 6 18. 2011重庆卷 (13x)n(其中 nN 且 n6)的展开式中 x5与 x6的系数相等， 则 n( )A6 B7 C8 D9【来源：21世纪教育网】 答案：B 【解析】 由题意可得 C 35C 36，即 C 3C ， 5 n6 n5 n6 n 即3，解得 n7.故选 B. n！ 5！n5！ n！ 6！n6！ 19. 2011重庆卷 (12x)6的展开式中 x4的系数是_ 答案：240 【解析】 (12x)6的展开式中含 x4的项为 C (2x)4240 x4，展 4 6 开式中 x4的系数是 240. 20102010 年高考题年高考题 一、选择题一、选择题 1.1.（20102010 全国卷全国卷 2 2 理）理）（6）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封 中若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力. 【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封 两个有种方法，共有种，故选 B.【出处：21 教育名师】 2.2.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文）（9）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封 中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A） 12 种 (B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种 【答案答案】 B B 【解析解析】B】B：本题考查了排列组合的知识：本题考查了排列组合的知识 先从先从 3 3 个信封中选一个放个信封中选一个放 1 1，2 2 有有 3 3 种不同的选法，再从剩下的种不同的选法，再从剩下的 4 4 个数中选两个放一个信个数中选两个放一个信 封有封有 2 4 6C ，余下放入最后一个信封，余下放入最后一个信封，共有共有 2 4 318C 3.3.（20102010 重庆文）重庆文）（10）某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日（端午节假期） 值班，每天安排 2 人，每人值班 1 天 . 若 6 位员工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，则不 同的安排方法共有 （A）30 种 （B）36 种 （C）42 种 （D）48 种 解析：法一：所有排法减去甲值 14 日或乙值 16 日，再加上甲值 14 日且乙值 16 日的排法 即 221211 645443 2C CC CC C =42 法二：分两类 甲、乙同组，则只能排在 15 日，有 2 4 C=6 种排法 甲、乙不同组，有 112 432 (1)C CA =36 种排法，故共有 42 种方法 4.4.（20102010 重庆理）重庆理）(9)某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日， 则不同的安排方案共有 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种 解析：分两类：甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 4 4 1 4 2 2 2AAA种方法 甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号，共有)(4 3 3 1 3 1 3 4 4 2 2 AAAAA种方法 故共有 1008 种不同的排法 5.5.（20102010 北京理）北京理）（4）8 名学生和 2 位第师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数为 （A） 82 89 A A （B） 82 89 A C （C） 82 87 A A （D） 82 87 A C 【答案】A 6.6.（20102010 四川理）四川理）（10）由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的 六位偶数的个数是 （A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 【答案】C 解析：先选一个偶数字排个位，有 3 种选法 若 5 在十位或十万位，则 1、3 有三个位置可排，3 22 32 A A24 个 若 5 排在百位、千位或万位，则 1、3 只有两个位置可排，共 3 22 22 A A12 个 算上个位偶数字的排法，共计 3(2412)108 个 7.7.（20102010 天津天津理）理）(10) 如图，用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条 线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用 （A）288 种 （B）264 种 （C）240 种 （D）168 种 【答案】D 【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属 于难题。 （1）B,D,E,F 用四种颜色，则有 4 4 1 124A 种涂色方法； （2）B,D,E,F 用三种颜色，则有 33 44 2 22 1 2192AA 种涂色方法； （3）B,D,E,F 用两种颜色，则有 2 4 2 248A 种涂色方法； 所以共有 24+192+48=264 种不同的涂色方法。 【温馨提示】近两年天津卷中的排列、组合问题均处理压轴题的位置，且均考查了分类讨 论思想及排列、组合的基本方法，要加强分类讨论思想的训练。 8.8.（20102010 天津理）天津理）（4）阅读右边的程序框图，若输出 s 的值为-7，则判断框内可填写 (A)i3? （B）i4? （C）i5? （D）i6? 【答案】 D 【解析】 本题 主要考查条件语句与循环语句的基本 应用，属于容易题。 第一次执行循环体时 S=1，i=3;第二次执行循环时 s=- 2，i=5；第三次执行循环体时 s=-7.i=7，所以判断框内可填写“i6?”,选 D. 【温馨提示】设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决。 9.9.（20102010 福建文）福建文） 10.10.（20102010 全国卷全国卷 1 1 理）理）(6)某校开设A类选修课 3 门，B类选择课 4 门，一位同学从中共 选 3 门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 【答案】A 11.11.（20102010 四川文）四川文）（9）由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五 位数的个数是 （A）36 （B）32 （C）28 （D）24 【答案】A 解析：如果 5 在两端，则 1、2 有三个位置可选，排法为 2 22 32 A A24 种 如果 5 不在两端，则 1、2 只有两个位置可选，3 22 22 A A12 种 共计 122436 种 12.12.（20102010 湖北文）湖北文）6现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择 其中的一个讲座，不同选法的种数是 A 4 5B. 5 6C. 5 6 5 4 3 2 2 D.6 5 4 3 2 13.13.（20102010 湖南理）湖南理）7、在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复） 表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两 个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.15 14.14.（20102010 湖北理）湖北理）8、现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活 动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙 不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A152 B.126 C.90 D.54 【答案】B 【解析】分类讨论：若有 2 人从事司机工作，则方案有 23 33 18CA；若有 1 人从事司机 工作，则方案有 123 343 108CCA种，所以共有 18+108=126 种，故 B 正确 二、填空题二、填空题 1.1.（20102010 上海文）上海文）12.在n行m列矩阵 12321 23411 34512 12321 nnn nn n nnnn 中， 记位于第行第 j 列的数为 ( ,1,2, ) ij a i jn 。当 9n 时， 11223399 aaaa 45 。 解析： 11223399 aaaa 1+3+5+7+9+2+4+6+8=45 2.2.（20102010 上海文）上海文）5.将一个总数为A、B 、C三层，其个体数之比为 5:3:2。若用分层 抽样方法抽取容量为 100 的样本，则应从C中抽取 20 个个体。 解析：考查分层抽样应从C中抽取 20 10 2 100 3.3.（20102010 浙江理）浙江理）（17）有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳 远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个 项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午 都各测试一人. 则不同的安排方式共有_种（用数字作答）. 解析：本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的 考察，属较难题 4.4.（20102010 江西理）江西理）14.将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个各 2 人，另两个组各 1 人，分赴 世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。 【答案】 1080 【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先 分组，考虑到有 2 个是平均分组，得 2211 6421 22 22 C CC C AA 两个两人组两个一人组 ，再全排列得： 2211 4 6421 4 22 22 1080 C CC C A AA 5.5.（20102010 天津理）天津理）（11）甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图， 中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这 10 天甲、 乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。 【答案】24，23 【解析】本题主要考查茎叶图的应用，属于容易题。 甲加工零件个数的平均数为 19 1820 221222331 235 24 10 乙加工零件个数的平均数为 19 1711212224 230 232 23 10 【温馨提示】茎叶图中共同的数字是数字的十位，这事解决本题的突破口。 6.6.（20102010 全国卷全国卷 1 1 文文）(15)某学校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中 共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作 答) 15. A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想. 【解析 1】:可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 12 34 C C 种不同的 选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 21 34 C C 种不同的选法.所以不同的选法共 有 12 34 C C + 21 34 18 1230C C 种. 【解析 2】: 333 734 30CCC 20092009 年高考题年高考题 一、选择题 1.（2009 广东卷 理）2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五 名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵 只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种 【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法24 3 3 1 2 1 2 ACC；若小张、小赵都入选，则 有选法12 2 3 2 2 AA，共有选法 36 种，选 A. 2.（2009 北京卷文）用数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A8B24C48D120 【答案答案】C .w【解析解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算 的考查. 2 和 4 排在末位时，共有 1 2 2A 种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有 3 4 4 3 224A 种排法， 于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有2 2448（个）.故选 C. 3（2009 北京卷理）用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A324 B328 C360 D648 【答案答案】B 【解析解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知 识、基本运算的考查.21 教育网 首先应考虑“0”是特殊元素，当 0 排在末位时，有 2 9 9 872A （个）， 当 0 不排在末位时，有 111 488 4 8 8256AAA （个）， 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328（个）.故选 B. 4.（2009 全国卷文）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 （A）6 种 （B）12 种 （C）24 种 （D）30 种 答案：答案：C C 解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修 2 2 门的种门的种 数数 2 4 2 4 CC=36=36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为 2 4 C=6=6，故只恰好有，故只恰好有 1 1 门相同的选法有门相同的选法有 2424 种种 。 5.（2009 全国卷理）甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。 若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( D ) （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 (D)345 种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 112 536 225CCC种选法; (2) 乙组中选出一名女生有 211 562 120CCC种选法.故共有 345 种选法.选 D 6.(2009 湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学 生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 .18A .24B .30C .36D 【答案】C 【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 2 4 C，顺序有 3 3 A种， 而甲乙被分在同一个班的有 3 3 A种，所以种数是 233 433 30C AA 7.（2009 四川卷文）2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位 女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案答案】B】B 【解析解析】解法一、解法一、从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A，（A 共有6 2 2 2 3 AC种不同 排法），剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在 A、B 之间（若 甲在 A、B 两端。则为使 A、B 不相邻，只有把男生乙排在 A、B 之间，此时就不能满足男生 甲不在两端的要求）此时共有 6212 种排法（A 左 B 右和 A 右 B 左）最后再在排好的三 个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有 12448 种不同排法。 解法二；解法二；同解法一，从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A，（A 共有6 2 2 2 3 AC种不 同排法），剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三 类情况： 第一类：女生 A、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有 2 2 2 2 6AA=24 种排法； 第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间女生 B 和男生甲只有一种排法，此时 共有 2 2 6A12 种排法 第三类：女生 B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。 此时共有 2 2 6A12 种排法 三类之和为 24121248 种。 8. （2009 全国卷理）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至 少有 1 门不相同的选法共有21cnjy A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种 解解：用间接法即可. 222 444 30CCC种. 故选故选 C C 9.（2009 辽宁卷理）从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求 其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （A）70 种 （B） 80 种 （C） 100 种 （D）140 种 【解析】直接法：一男两女,有 C51C425630 种,两男一女,有 C52C4110440 种,共 计 70 种 间接法：任意选取 C9384 种,其中都是男医生有 C5310 种,都是女医生有 C414 种,于是符合条件的有 8410470 种. 【答案】A 10.（2009 湖北卷文）从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动， 每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选 派方法共有 A.120 种 B.96 种 C.60 种 D.48 种 【答案】C 【解析】5 人中选 4 人则有 4 5 C种，周五一人有 1 4 C种，周六两人则有 2 3 C，周日则有 1 1 C种， 故共有 4 5 C 1 4 C 2 3 C=60 种,故选 C 11.（2009 湖南卷文）某地政府召集 5 家企业的负责人开会，其中甲企业有 2 人到会，其 余 4 家企业各有 1 人到会，会上有 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的 种数为【 B 】 A14 B16 C20 D48 解:由间接法得 321 624 20416CCC，故选 B. 12.（2009 全国卷文）甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学， 若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 （D）345 种 【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。 解：由题共有345 2 6 1 3 1 5 1 2 1 6 2 5 CCCCCC，故选择 D。 13.（2009 四川卷文）2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位 女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案答案】B】B 【解析解析】解法一、解法一、从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A，（A 共有6 2 2 2 3 AC种不同 排法），剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在 A、B 之间（若 甲在 A、B 两端。则为使 A、B 不相邻，只有把男生乙排在 A、B 之间，此时就不能满足男生 甲不在两端的要求）此时共有 6212 种排法（A 左 B 右和 A 右 B 左）最后再在排好的三 个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有 12448 种不同排法。 解法二；解法二；同解法一，从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A，（A 共有 6 2 2 2 3 AC种不同排法），剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不 在两端可分三类情况： 第一类：女生 A、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有 2 2 2 2 6AA=24 种排法； 第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间女生 B 和男生甲只有一种排法，此时 共有 2 2 6A12 种排法 第三类：女生 B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。 此时共有 2 2 6A12 种排法 三类之和为 24121248 种。 14.（2009 陕西卷文）从 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数， 组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为 (A)432 (B)288 (C) 216 (D)108 网 答案:C. 解析:首先个位数字必须为奇数，从 1，3，5，7 四个中选择一个有 1 4 C种，再丛剩余 3 个奇 数中选择一个，从 2，4，6 三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。 则共有 1123 4333 216C C C A 个故选 C. 15.(2009 湖南卷理)从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 C A 85 B 56 C 49 D 28 【答案】：C 【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有： 12 27 CC42，另 一类是甲乙都去的选法有 21 27 CC=7，所以共有 42+7=49，即选 C 项。 16.（2009 四川卷理）3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位 女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。 解析：6 位同学站成一排，3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 332 2 2 2 4 2 3 3 3 AACA种，其中男生甲站两端的有144 2 2 2 3 2 3 2 2 1 2 AACAA，符合条件的排法 故共有 188 解析 2：由题意有 222112222 232232324 2()()188ACACCACAA,选 B。 17.（2009 重庆卷文）12 个篮球队中有 3 个强队，将这 12 个队任意分成 3 个组（每组 4 个 队），则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为（ ） A 1 55 B 3 55 C 1 4 D 1 3 【答案】B 解析因为将 12 个组分成 4 个组的分法有 444 1284 3 3 C C C A 种，而 3 个强队恰好被分在同一组 分法有 3144 3984 2 2 C C C C A ，故个强队恰好被分在同一组的概率为 314424443 9984212843 3 C C C C A C C C A = 55 。 二、填空题 18.（2009 宁夏海南卷理）7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若 每天安排 3 人，则不同的安排方案共有_种（用数字作答）。 解析： 33 74 140C C ， 答案：140 19.（2009 天津卷理）用数字 0，1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的四位数，其中个 位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答） 【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。 解析：个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数的有：90 1 3 3 3 1 4 3 3 2 3 CACAC种；个位、 十位和百位上的数字为 1 个偶数 2 个奇数的有：234 1 3 3 3 2 3 1 3 1 4 3 3 2 3 CACCCAC种，所以 共有32423490 个。 20.（2009 浙江卷理）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同 一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答） 答案：336 【解析】对于 7 个台阶上每一个只站一人，则有 3 7 A种；若有一个台阶有 2 人，另一个是 1 人，则共有 12 37 C A种，因此共有不同的站法种数是 336 种 21.（2009 浙江卷文）有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数,1k k ，其 中0,1,2,19k 从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取 到 标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9 1 010 ）不小于14”为 A， 则(