2020中考数学高频考点靶向专题复习与提升专练解直角三角形试卷

2020中考数学高频考点靶向专题复习与提升专练解直角三角形1.在ABC中,C=90,BC=2,sin A=23,则边AC的长是 ()A.5B.3C.43D.13【解析】A.sinA=BCAB=23,BC=2,AB=3,AC=AB2-BC2=32-22=5.2.如图,在44的正方形方格中,ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tanACB的值为()A.23B.13C.22D.3【解析】选B.由勾股定理可求出:BC=22,AC=25,DF=10,DE=2,FDAC=22,EDAB=22,FEBC=22,FDAC=EDAB=FEBC,FDECAB,DFE=ACB,tanACB=tanDFE=13.3.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图1所示,点A是栏杆转动的支点,点E是栏杆两段的联结点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置,其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计),其中ABBC,EFBC,AEF=143,AB=AE=1.2米,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为_(参考数据:sin 370.60,cos370.80,tan370.75) ()【解析】选A.如图,过点A作BC的平行线AG,过点E作EHAG于点H,则EHG=HEF=90,AEF=143,AEH=AEF-HEF=53,EAH=37,在EAH中,EHA=90,EAH=37,AE=1.2米,EH=AEsin EAH1.20.60=0.72(米),AB=1.2米,AB+EH1.2+0.72=1.921.9米.4.在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点,且NMB=MBC,则tanABM=_.【解析】如图,延长MN交BC的延长线于点T,设MB的中点为O,连接TO,则OTBM,ABM+MBT=90,OTB+MBT=90,ABM=OTB,则BAMTOB,AMOB=MBBT,即AMMB=OBBT,即MB2=2AMBT由N是DC的中点,四边形ABCD是正方形,易得MNDTNC,MD=CT.令DN=1,CT=MD=k,则AM=2-k,BM=4+(2-k)2,BT=2+k,代入中得:4+(2-k)2=2(2-k)(2+k),解方程得:k1=0(舍去),k2=43.AM=2-43=23.tanABM=AMAB=232=13.答案:135.一艘轮船在小岛A的北偏东60距小岛80海里的B处,沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西45的C处,则该船行驶的速度为_海里/时.【解析】如图所示,设该船行驶的速度为x海里/时,2小时后到达小岛的北偏西45的C处,由题意得:AB=80海里,BC=2x海里,在直角三角形ABQ中,BAQ=60,B=90-60=30,AQ=12AB=40,BQ=3AQ=403,在直角三角形AQC中,CAQ=45,CQ=AQ=40,BC=40+403=2x,解得:x=20+203.即该船行驶的速度为(20+203)海里/时.答案:(20+203)6.如图,在一笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,AB=2 km,从A测得船C在北偏东45的方向,从B测得船C在北偏东22.5的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为_km(精确到0.1).【解析】在CD上取一点E,使BD=DE,设BD=DE=x.BD=DE,EBD=45,由题意可得CAD=45,AD=DC,从B测得船C在北偏东22.5的方向,BCE=CBE=22.5,BE=EC,AB=AD-BD=2 km,EC=BE=DC-DE=2 km,BD=DE=x,CE=BE=2x,2+x=x+2x,解得x=2.DC=(2+2)3.4(km)答案:3.47.校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道L上确定点D,使CD与L垂直,测得CD的长等于24米,在L上点D的同侧取点A,B,使CAD=30,CBD=60.(1)求AB的长(结果保留根号).(2)已知本路段对校车限速为45千米/时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速?请说明理由.(参考数据:31.73,21.41)【解析】(1)由题意得,在RtADC中,AD=CDtan30=2433=243(米),在RtBDC中,BD=CDtan60=243=83(米),则AB=AD-BD=163(米).(2)超速.理由:汽车从A到B用时2秒,速度为161.732=13.84(米/秒),13.843.6=49.824(千米/时)45(千米/时).此校车在AB路段超速.8.在一节数学实践课上,老师给出了这样一道题,如图1,在锐角三角形ABC中,A,B,C所对的边分别是a,b,c,请用a,c,B表示b2.同学们经过思考后,甲同学说:要将锐角三角形转化为直角三角形来解决,并且不能破坏B,因此可以过点A,作ADBC于点D,如图2,大家认同;乙同学说要想得到b2要在RtABD或RtACD中解决;丙同学说那就要先求出AD=_,BD=_;(用含c,B的三角函数表示)丁同学顺着他们的思路,求出b2=AD2+DC2=_(其中sin2+cos2=1);请利用丁同学的结论解决如下问题:如图3,在四边形ABCD中,B=D=90,BAD=60,AB=4,AD=5,求AC的长.【解析】sin B=ADAB,cos B=BDAB,AD=ABsin B=csin B,BD=ABcos B=ccos B,CD=BC-BD=a-ccos B,则b2=AD2+DC2=(csin B)2+(a-ccos B)2=c2sin2B+a2+c2cos2B-2accos B=c2(sin2B+cos2B)+a2-2accos B=a2+c2-2accos B.答案:csin Bccos Ba2+c2-2accos B如图3所示,延长BC,AD交于点E,B=90,BAD=60,AB=4,AE=2AB=8,E=30,AD=5,DE=3,ADC=CDE=90,CE=23,AC2=CE2+AE2-2CEAEcos 30=12+64-223832=28,AC=27.9.如图,某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时,发现在B的北偏东60方向,相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶,C点在A港口的北偏东30方向上,海监船向A港口发出指令,执法船立即从A港口沿AC方向驶出,在D处成功拦截可疑船只,此时D点与B点的距离为752海里.(1)求B点到直线CA的距离.(2)执法船从A到D航行了多少海里?(21.414,31.732,结果精确到0.1海里)【解析】(1)过点B作BHCA交CA的延长线于点H(如图),EBC=60,CBA=30,FAD=30,BAC=120,BCA=180-BAC-CBA=30,BH=BCsin BCA=15012=75(海里).答:B点到直线CA的距离是75海里.(2)BD=752海里,BH=75海里,DH=BD2-BH2=75(海里),BAH=180-BAC=60,在RtABH中,tanBAH=BHAH=3,AH=253,AD=DH-AH=75-25331.7(海里).答:执法船从A到D航行了31.7海里10.如图,CD是一高为4米的平台,AB是与CD底部相平的一棵树,在平台顶C点测得树顶A点的仰角=30,从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E,在点E处测得树顶A点的仰角=60,求树高AB(结果保留根号)【解析】作CFAB于点F,设AF=x米,在RtACF中,tanACF=AFCF,则CF=AFtanACF=xtan=xtan30=3x,在直角ABE中,AB=x+BF=4+x(米),在直角ABE中,tanAEB=ABBE,则BE=ABtanAEB=x+4tan60=33(x+4)米.CF-BE=DE,即3x-33(x+4)=3.解得:x=33+42,则AB=33+42+4=33+122(米).答:树高AB是33+122米.11. 如图,AB是长为10 m,倾斜角为37的自动扶梯,平台BD与大楼CE垂直,且与扶梯AB的长度相等,在B处测得大楼顶部C的仰角为65,求大楼CE的高度(结果保留整数).(参考数据:sin 3735,tan 3734,sin 65910,tan 65157)【解析】作BFAE于点F.则BF=DE.在直角ABF中,sin BAF=BFAB,则BF=ABsin BAF1035=6(m).在直角CDB中,tanCBD=CDBD,则CD=BDtan 651015721(m).则CE=DE+CD=BF+CD=6+21=27(m).答:大楼CE的高度是27 m.12. 一艘轮船位于灯塔P南偏西60方向,距离灯塔20海里的A处,它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45方向上的B处(参考数据:31.732,结果精确到0.1).【解析】如图,作PCAB,交AB的延长线于点C,在RtAPC中,AP=20(海里),APC=60,PC=APcos60=2012=10(海里),AC=APsin 60=2032=103=101.73217.3(海里).在RtBPC中,BPC=45,BC=PC=10(海里).AB=AC-BC=17.3-10=7.3(海里).答:它向东航行7.3海里到达灯塔P南偏西45方向上的B处.13. 如图,是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高BC是10米,坡面10米处有一建筑物HQ,为了方便使行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡面DC的倾斜角BDC=30,若