综合法和分析法.ppt

综合法和分析法,问题提出,1.合情推理的主要作用和思维过程是什么？,作用：提出猜想，发现结论；,过程：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想.,2.演绎推理的一般模式是“三段论”，三段论的基本含义如何？,大前提：已知的一般原理；,小前提：所研究的特殊情况；,结论：根据一般原理，对特殊情况做出判断.,合情推理所得结论的正确性是需要证明的，演绎推理的实施也需要具体的操作方法，因此，从理论上获取证明数学命题的基本方法，是我们需要进一步学习的内容.,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.,数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.,探究（一）：综合法,例1:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc,上述从已知条件，基本不等式，不等式乘法和加法性质出发，推出所证结论成立的证明方法叫做综合法.,综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”，即利用已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，经过一系列的推理论证，最后推导出所证结论成立.,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:,证明:,变式：已知x+y+z=m.求证x2+y2+z2,证明：x+y+z=m，(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=m2.又x2+y22xy,y2+z22yz,z2+x22xz,2(x2+y2+z2)2(xy+yz+zx),即x2+y2+z2xy+yz+zx,m2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)3(x2+y2+z2).x2+y2+z2,综合法证不等式常用的不等式性质及重要的不等式：(1)a20(aR).(2)(a-b)20(a,bR),其变形后a2+b22ab,(3)若a,b(0,+),则特别地,(4)a2+b2+c2ab+bc+ca(a,b,cR),(5)a+b+c,a2+b2+c2,ab+bc+ca这三个式子之间的关系，由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)得出.三式中已知两式，第三式即可由设等式用另两式表示出来.,例2：在中，三个内角、对应的边分别为a、b、c，且、成等差数列，a、b、c成等比数列，求证为等边三角形,练习：在锐角三角形中，A、B、C为三角形内角，求证：sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,证明：在锐角三角形ABC中，A+B,A-B,0sin(-B)=cosB,即sinAcosB同理可证：sinBcosCsinCcosA由+得：sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,变式：ABC中，三边a、b、c成等比数列.求证：,证明：a、b、c成等比数列，b2=ac.,综合法证明三角问题常用公式：(1)三角函数的定义，诱导公式，和差倍公式以及恒等变形.(2)三角形内角和为180,三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(3)三角形中的正、余弦定理以及面积公式.,练习：求证:,例3：求证：(其中a0,b0).,:要证只需证只需证只需证,证明,分析,因为成立所以成立,探究（二）：分析法,上述从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法,分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.即由未知探需知，逐步推向已知.,若用Q表示所要证明的结论，则分析法的推理过程用流程框图可怎样表示？,例4:求证：.,练习:当x4时，证明：,只需证,即证,展开得,即,只需证,即证x2-5x+40,求证：,1.“分析综合法”解决数学问题：“分析综合法”又叫混合型分析法,是同时从已知条件与结论出发,寻找其之间的联系而沟通思路的方法.在解题过程中,分析法和综合法是统一的,不能把分析法和综合法孤立起来使用,分析和综合相辅相成,有时先分析后综合,有时先综合后分析.分析综合法的方法结构如图所示：,在平时的证明问题中，一般不是单纯地使用某一种证明方法，更多的是综合使用几种方法.,2.“分析综合法”证明的步骤：在解决问题时,我们经常把综合法和分析法综合起来使用.根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论P;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论Q.若由Q可以推出P成立,就可证明结论成立,其证明模式可用框图表示如下：其中Q1代表结论,P1代表要证的条件).,只需证cos2-sin2=(cos2-sin2),只需证1-2sin2=(1-2sin2),即证sin2-2sin2=1.(已证)综上等式得证.,练习：ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其角A、B、C的对边分别为a、b、c,求证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.,(分析法),因为ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，得b2=c2+a2-2accos60，即c2+a2=ac+b2,两边同时加ab+bc,得c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),两边除以(a+b)(b+c)，得所以即所以(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.,(综合法),【互动探究】若把本例的结论当条件，试证明：B=.证明(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1，即c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),b2=a2+c2-ac,又B(0,),B=.,小结作业,1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法.,2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的