王孝武(现代控制理论基础课件)第3章

第三章控制系统的能量控制性和能量观测性是多变量控制系统中能量控制性和能量观测性反映两个控制系统结构的基本特性，是现代控制理论中最重要的基本概念。 本章内容包括：1 .引言能量控制性、能量观测性的基本概念，2 .能量控制性及其标准，3 .能量观测性及其标准，4 .离散系统的能量控制性及能量观测性，5 .对偶原理，6 .能量控制标准型及能量观测标准型，7 .能量观测标准型使用能量观测性和传递函数的关系、8 .系统的构造分解、9 .实现问题、10.MATLAB判断系统的能量控制性和能量观测性的例3-1电路如下图所示。 选择的电容器两端的电压为状态变量时，如下所示。 在桥平衡的情况下，无论输入电压如何变化，都不会随着变化而变化，或者不控制状态变量。 即，该电路的状态不能被控制。 3.1引言首先通过实例介绍能量可控性、能量观测性的基本概念。 显然，在桥接器不平衡的情况下，该电路的状态是可控的。 例3-2电路如下图所示，若选择电容C1、C2的两端的电压为状态变量，电路的输出为C2以上的电压，则电路的系统方程式的解不管施加怎样的输入信号，总是有，一般地，系统方程式能够表示为(1)，能够控制状态另外，系统状态转移矩阵是系统可观测的问题是测定输出变量y并确定状态变量的问题。 例3-3的回路如下图所示。 给定输入、输出和两个电感上的电流各自为状态变量，系统方程仅依赖于输出或其差，而与初始状态无关，如上面的方程式所说明。 如果结果相同，则输出相同。 在这种情况下，输出始终为零。 很明显，不能通过观测输出来确定初始状态。 据说这样的系统是观测不到的。 在无法观测的系统中，无法观测的状态成分与y没有直接关系也没有间接关系。 能否观测到状态不仅取决于c，还取决于a。 另一方面，一般而言，如式(1)所示，系统方程式所示，能否观测到状态不仅取决于c阵列(直接关系)，还取决于a阵列(间接关系)。 3.2能量控制性及其基准、3.2.1线性稳态系统的能量控制性及其基准、2 )在有限时间区间内存在允许控制，将系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态时，系统称为状态能量的连续系统的状态转移矩阵是不特异的，因此系统的能量控制性3 )研究能量控制性不是研究状态的变化过程，而是研究能量控制状态在状态空间中的分布情况。 只有整个状态空间的所有有限点都能控制，系统才能控制。 2 .能量控制性的判断基准，定理3-1(2)式的线性稳定系统进行状态控制所需的条件证明了下一个nn维图矩阵已满秩(参照(5)、(教材84页) )，该定理是能量控制性的一般判断基准。 但是，由于计算了状态转移矩阵，所以很麻烦。 事实上，经常使用以下标准： 定理3-2(2)式的线性稳态系统进行状态能量控制的充分条件是以下的nnr可能性矩阵满足秩。 (6)、(7)以及(9)是如果系统可控制，则根据(9)式、这样要求本标准本身简单且最常用的方法。 定理3-3(PBH判别法) (2)式的线性稳定系数对于状态控制所需的条件，对于a的所有特征值，有(10 )、(证明略)例3-4、例3-5、例3-6这2个线性稳定系数，判断其能力控制性。 通过(1)、(2)、解、定理3-4，系统(1)不能控制系统(2)。 系统可以控制的充分条件是对应于矩阵中每个近似子块的最下行的所有行元素都不为零。 (12 )、例3-7中有以下2个线性稳定系统，判断其性能控制性。(1)、(2)、(定理(3-4)、定理(3-5)不仅可以判断系统的控制性，而且对于不能控制的系统，可以知道哪个状态成分不能被控制。 解释：1.以上几个定理给出了判断系统可控性的标准。 虽然这些表现形式、方法不同，但是判断线性稳态系统的控制性是等价的。 2 .在线性连续稳定系统中，能量到达性和能量控制性等价，因此能量控制性的判断基准也同样能够判断能量到达性。 3.2.2线性时变系统的能量控制性准则；(13 )线性时变系统的状态方程，因为存在定理3-7状态可同时控制的充分条件或有限时间，所以以下的图矩阵不是奇异的： (14 )、(16 )、时、定理3-8线性时变系统的和的元素为(n-1 )阶连续微小。 (17 )只要有限，系统就可以控制。 解、3.3能观测性及其基准、3.3.1线性稳态系统能观测性及其基准、1 .能观测性定义、(18 )、线性稳态系统方程式通过在有限时间区间()内观测，可唯一确定系统的初始状态，可观测系统状态。 据说只要能观测到任意的初始状态，系统就能完全观测到状态。 说明：1 )知道有限时间区间的系统输出，观测的目标是为了确定。 3 )只要能观测到状态空间的所有有限点，系统就能观测到。 4 )系统的输入或确定性噪声信号不改变系统的能量可观测性。 (该定理是可观测的一般标准。 但是，由于计算了状态转移矩阵，所以很麻烦。 事实上，经常使用以下标准： )定理3-10(18 )式所记述的系统能够观测的充分的要件是如下的可观测矩阵满足秩。 (21 )、(22 )系统的齐次状态方程的解可以满足秩，因为(23 )应用了凯-哈定理，有效或已知函数。 例3-9系统方程式试着如下判断系统的可观测性。 (由于以上标准简单，最常使用)以定理3-12(18 )表达式描述的系统的a阵列特征量彼此不同，并且如果经过非奇异线性变换进行对角阵列，则系统能够观测的充分条件是矩阵不包括所有元素的零阵列。 例3-10中有以下2个线性稳定系统，判断它们的能量观测性。 (1)、(2)，解可以从定理3-12判断，系统(1)不能观测。 系统(2)无法观测。 在选择中，系统可观测到的充分条件是对应于矩阵中的每一近似子块的第一列的列，且其全部元素未为零。 例3-11是以下的线性稳定系统，尝试判别系统的能量观测性。 由解应用定理3-13可知，系统是可观测的。 (定理(3-12 )、定理(3-13 )不仅能够判断系统的可观测性，还能够知道对于不能观测的系统，不能观测到哪个状态成分。 解释：1.上面给出了几个定理判断系统可观测性的标准。 虽然这些表现形式、方法不同，但判断线性稳态系统的可观测性是等价的。 2 .在线性连续稳定系统中，能量检测性和能量观测性等价，因此能量观测性的判断基准也同样能够判断能量检测性。 (25 )对于线性时变系统可观测性的确定准则线性时变系统方程，由于存在定理3-14状态可同时观测的充分条件或有限时间，因此函数矩阵的n列与线性无关。 定理3-15状态在时刻可观测的充分条件是存在有限时间，以下性格拉姆矩阵并不奇怪。定义、(26 )、(27 )、3.4离散系统的能量控制性和能量观测性、线性稳态离散系统方程式，可以根据(29 )、3.4.2能量控制性的判断基准(证明资料96页)、(30 )、定理3-17系统(29 )的能量控制所需的条件，选择能量控制性矩阵的等级为n、n 3.4.3是能量观测性的定义，对于用(29 )式记述的系统，可以基于有限的采样周期唯一地决定系统的任何初始状态，据说系统可以完全进行状态观测。 例3-13线性稳态离散系统方程是测试判断系统的能量观测性。 3.4.5连续系统离散化后的能量控制性和能量观测性、线性稳态系统方程式如果(31 )、定理3-19线性稳态系统(31 )不能控制(不能观测)，则离散化后的系统(32 )必然不能控制(不能观测)。 那个逆定理一般不成立。 定理3-20如果线性离散化后的系统(32 )能够控制(能够观测)，则离散化前的连续系统(31 )一定能够控制(能够观测)。 那个逆定理一般不成立。 定理3-21如果连续系统(31 )能够控制(可观测)，则a的所有特征值互不相同，且如果与采样周期的关系满足条件，则对象的特征值为(33 )离散的系统能够控制(可观测)。 3.5对偶原理，线性稳态系统方程(34 )，构建一个系统，(35 )，系统(34 )和(35 )为对偶系统。 (上文介绍了系统的可控性和可观测性。 概念上和形式上都相似。 它暗示了能量控制性和能量观测性之间有某种内在的联系。 (方程(35 )中的系数矩阵是系统的对偶原理，其中输入矩阵或输出矩阵具有两个基本特征，1 .两个系数传递函数矩阵相互反转，2 .两个系数特征值相同，并且对偶原理：系统(34 )的能量可控性等于系统(35 )的能量可观测性例3-15线性稳态系统如下判断可观测性。 根据该对偶系统的能量控制性矩阵、对偶系统的能量控制、对偶原理，原始系统是可以观测的。 有了对偶原理，一个系统的能量控制性问题可以通过解决该对偶系统的能量观测性问题来解决，而系统的能量观测性问题可以通过解决该对偶系统的能量控制性问题来解决。 这对控制理论的研究具有重要意义。 3.6可观测标准形和标准形的(36 )、3.6.1可控制标准形的线性稳态系统、a的特征多项式、能量控制性矩阵、推论：可控制标准形的系统必然可控制。 (证明请参阅教材104页)，例3-16已知可控制的线性稳定系统，需要转换成可控制的标准类型。 (2)A的特征多项式注意： a0=1、a1=0、a2=-2。 (3)计算变换矩阵p、(4)计算、(5)能够控制标准形、能够观测3.6.2标准形系统(36 )的能量观测性矩阵，系统能够观测、(38 )定理3-23系统(36 )能够观测，通过线性变换将其变形为以下形式的能量观测标准形推论：可以看标准形式的系统一定可以看到。 变换矩阵最好是(39 )。 请考虑引入能量控制和可观测的标准形式的优点，考察3.7能量控制性、能量观测性和传递函数的关系，考察SISO线性稳定系统，(40 )其传递函数为(41 )，传递函数的分子、分母分别为零极对消时，传递函数为(40 ) 定理3-24SISO系统(40 )所控制可见的充分条件是没有零以及极对消除。 例3-17线性稳态系统方程式如下，求系统传递函数，判断系统的控制性和性能观。 传递函数是能量控制性、能量可观测性、例子3-19MIMO线性稳态系统方程式，以传递函数矩阵、能量控制性、能量可观测性而言，传递函数矩阵具有零极点对消，但是系统可以观测为控制。 这是因为剩下一个极(s-1 )，没有消失，只会降低系统的重量。(42 )如果MIMO线性稳定系统，定理3-25系统(42 )的状态向量和输入向量之间的传递函数矩阵的每一行的线性不相关，则该系统可以被控制。 如果定理3-26所述的系统(42 )的输出向量与状态向量之间的传递函数矩阵的每一行线性无关，则该系统是可见的。 3.8系统的结构分解、无法控制、无法观测的系统在结构上包括必须能控制、无法控制和无法观测的子系统。 如何根据能量控制性和观测性进行分解？ 已知线性变换不会改变系统的能量控制性和能量观测性。 因此，可以用线性变换法进行分解。 这里要解决三个问题： 1、如何分解？ 2、分解后的系统方程式的形式是？ 3、变换矩阵如何确定？ 结构分解的问题介绍如下。 此外，如果线性稳态系统(43 )、3.8.1被能量控制地分解并且定理3-27系统(43 )不能控制，则存在线性变换以将状态分量转换为下一格式(44 )，并且三维子系统被转换为系统的传递函数矩阵，其中，用于确定变换矩阵的方法包括此外，例3-20系统方程式如下，要求进行能量控制的结构分解。 经过线性变换后，3.8.2本能地分解，(47 )可以观测到。 另外，在能量观测矩阵中存在与线性无关的行向量，并基于此追加行向量来构成变换矩阵。 例3-21系统方程式如下所述，要求能量结构分解。 解，从中选择两个行向量。 例如，添加另一个与路线无关的行向量。 3.8.3同时根据能量控制性和能量观进行结构分解，定理3-29如果系统(43 )不能控制，则存在看不到的线性变换，并将其转换为下列形式：系统传递函数矩阵、(50 )、(51 )、3.9实现问题、(52 )给出传递函数时求出系统方程式，注意：在传递函数分子次数小于分母的次数的情况下，有式(52 )，在传递函数分子的次数等于分母的次数的情况下，有式(53 ) . 当基于状态空间法分析和设计控制系统时，有必要了解系统的状态空间公式。 然而，可能仅知道系统的传递函数(矩阵)，在这种情况下，所给出的传递函数(矩阵)描述变成等效于输入/输出特性的状态空间表达式描述。 这个问题被称为系统实现问题。 在此只讨论SISO系统的实现问题。 3.9.1可以控制标准形式的实现，其中，系统传递函数可以进行加逆变换来选择系统的状态变量，因此，写入、矩阵形式，其中，写入包括2.0点的、矩阵形式，其中，系统传递函数可以看到3.9.2标准形式的实现1 )传递函数的极性互不相同，选择状态：有，2 )传递函数的极性，矩阵形式，3.9.4串联形式的实现，3.9.5最小的实现，在所有可能的实现中维度最小的实现称为最小实现。 最小实现也不是唯一的。 3.10MATLAB的应用，判断3.10.1线性系统的能量控制性和能量观测性，用MATLAB简单求解线性控制系统的能量控制性矩阵和能量观测性矩阵，可以求得它们的等级。 判断系统的可控性和可观测性。 函数ctrb ()和obsv ()分别计算系统的能量可控性矩阵和能量观测性矩阵。 其中Qc=ctrb(A，b )，Qo=obsv(A，c )。 例3-23能否判断下列线性系统是否可以控制观测？ 其中，解首先分别计算系统的能控性矩阵和能观测性矩阵。 然后，使用rank ()函数计算这两个矩阵的秩。 输入以下语句： 从计算结果可以看出，这些语句的执行结果是系统的控制矩阵和观测矩阵的等级都是3，而且是全等级的，因此该系统是可控的和可观测的。注意：在以sys=ss(A，b，c，d )输入系统的模型之后，即，当以状态空间的形式表示系统模型时，也可以以Qc=ctrb(sys )