2020届高三数学第一轮复习《直线与圆 圆与圆 》讲义

直线与圆、圆与圆的位置关系要点梳理1直线与圆的位置关系位置关系有三种：_相离_、_相切_、_相交_判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr_相离_.2计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算弦长|AB|2 (2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|xAxB|说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法3求过点P(x0，y0)的圆x2y2r2的切线方程与切线长(1)过点P作圆的切线有三种类型：若圆的方程为x2y2r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2y2r2相切的切线方程为_ x0xy0yr2_注：点P必须在圆x2y2r2上经过圆(xa)2(yb)2r2上点P(x0，y0)的切线方程为_(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2_若P(x0，y0)在圆外时，则过P的切线方程可设为yy0k(xx0)，利用待定系数法求解一般运用圆心到直线的距离等于半径，但注意有两条切线说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况当P在圆内时，不存在 (2)切线长的求法：过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，则|PM|.4判断圆与圆的位置关系常用方法：从圆心距和两圆半径的关系入手(几何法)设C1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，C2：(xa2)2(yb2)2r(r20)，则有：|C1C2|r1r2C1与C2_相离_；|C1C2|r1r2C1与C2_外切_；|r1r2|C1C2|r1r2C1与C2_相交_；|C1C2|r1r2|(r1r2)C1与C2_内切_；0|C1C2|r1r2_相离_；(2)已知两圆x2y2D1xE1yF10和x2y2D2xE2yF20相交，则与两圆共交点的圆系方程为_(x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0_，其中为1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆当1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.5求圆外一点P到圆O上任意一点距离的最小值为|PO|r，最大值为|PO|r(其中r为圆O的半径)基础自测 1 已知圆C经过M(2，1)和直线xy1相切，且圆心在直线y2x上，则圆C的方程为_(x1)2(y2)22_2直线yax1与圆x2y22x30的位置关系是_相交_3若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40没有公共点，则实数m的取值范围是_(，0)(10，)_ 4圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有()A1条 B2条 C3条 D4条5直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范围是()A. B. C. D.6圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20题型一直线与圆的位置关系例1已知直线l：ykx1，圆C：(x1)2(y1)212试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(1)方法一证明由消去y得(k21)x2(24k)x70，因为(24k)228(k21)0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点方法二证明圆心C(1，1)到直线l的距离d，圆C的半径R2，R2d212，而在S11k24k8中，(4)241180对kR恒成立，所以R2d20，即dR，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点方法三(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点A(0，1)，而|AC|2R，所以点A(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点A.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点题型二 圆的弦长、中点弦问题例2已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程解(1)方法一如图所示，|AB|4，取AB的中点D，连接CD，则CDAB，连接AC、BC，则|AD|2，|AC|4，在RtACD中，可得|CD|2.当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离公式，得2，解得k.当k时，直线l的方程为3x4y200.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.所求直线的方程为3x4y200或x0.方法二当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y5kx，即ykx5.联立直线与圆的方程消去y，得(1k2)x2(42k)x110.设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系，得由弦长公式，得|x1x2|4.将式代入，解得k，此时直线方程为3x4y200.又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x0. 所求直线的方程为x0或3x4y200.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CDPD，即0，(x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.变式训练2已知直线l：ykx1，圆C：(x1)2(y1)212求直线l被圆C截得的最短弦长方法一设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|x1x2|22 ，令t，则tk24k(t3)0，当t0时，k，当t0时，因为kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值为4，此时|AB|最小为2. 方法二解由平面几何知识，知|AB|22 ，下同方法一方法三由平面几何知识知过圆内定点A(0,1)的弦，只有和AC (C为圆心)垂直时才最短，而此时点A(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|22，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.题型三 圆的切线问题例3已知点M(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24(1)求过M点的圆的切线方程； (2)若直线axy40与圆相切，求a的值；解(1)圆心C(1,2)，半径为r2，当直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心C(1,2)到直线x3的距离d312r知，此时，直线与圆相切当直线的斜率存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由题意知2，解得k.方程为y1(x3)，即3x4y50.故过M点的圆的切线方程为x3或3x4y50.(2)由题意有2，解得a0或a.探究提高求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解注意，需考虑无斜率的情况求弦长问题，要充分运用圆的几何性质变式训练3已知圆C：x2y22x4y30.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；解将圆C配方得(x1)2(y2)22.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为ykx，由，解得k2，得y(2)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为xya0，由，得|a1|2，即a1，或a3.直线方程为xy10，或xy30.综上，圆的切线方程为y(2)x，或y(2)x，或xy10，或xy30.题型四圆与圆的位置关系例4a为何值时，圆C1：x2y22ax4ya250和圆C2：x2y22x2aya230(1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切解将两圆方程写成标准方程C1：(xa)2(y2)29，C2：(x1)2(ya)24.两圆的圆心和半径分别为C1(a，2)，r13，C2(1，a)，r22，设两圆的圆心距为d，则d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)当d5，即2a26a525时，两圆外切，此时a5或a2.(2)当1d5，即12a26a525时，两圆相交，此时5a2或1a5，即2a26a525时，两圆外离，此时a2或a5.(4)当d1，即2a26a51时，两圆内切，此时a1或a2.探究提高判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法变式训练4 (1)圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心为O2(2,1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|2，求圆O2的方程解(1)设圆O2的半径为r2，由于两圆外切，|O1O2|r1r2，r2|O1O2|r12(1)，故圆O2的方程是(x2)2(y1)24(1)2.(2)设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r22，又圆O1的方程为x2(y1)24，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x4yr2280.圆心O1(0，1)到直线AB的距离为，解得r224或r2220.故圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220(2)已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230，m为何值时，圆C1与圆C2内含解：如果C1与C2内含，则有32.(m1)2(m2)21，m23m20，得2m1，当m5或m2时，圆C1与圆C2外切；当2m0，b26b90，解得33b0.即直线AB的方程为xy40，或xy10.变式训练6已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21相交于M、N两点(1)求实数k的取值范围；(2)若O为坐标原点，且12，求k的值变式迁移4解(1)方法一直线l过点A(0,1)且斜率为k，直线l的方程为ykx1.将其代入圆C：(x2)2(y3)21，得(1k2)x24(1k)x70.由题意：4(1k)24(1k2)70，得k.方法二同方法一得直线方程为ykx1，即kxy10.又圆心到直线距离d，d1，解得k0)的公共弦长为2，则a_1_.7已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与y轴相切，与x轴相交于点A、B，若|AB|，则该圆的标准方程是_(x1)221_8在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_(13,13)_9已知点A是圆C：x2y2ax4y50上任意一点，A点关于直线x2y10的对称点也在圆C上，则实数a_10_.10设直线3x4y50与圆C1：x2y24交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是_1_三、解答题11一直线经过点P被圆x2y225截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程解(1)当斜率k不存在时，过点P的直线方程为x3，代入x2y225，得y14，y24.弦长为|y1y2|8，符合题意(2)当斜率k存在时，设所求直线方程为yk(x3)，即kxy3k0. 由已知，弦心距|OM|3， 3，解得k.所以此直线方程为y(x3)，即3x4y150.所以所求直线方程为x30或3x4y150.12自点A(3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2y24x4y70相切，求光线l所在直线的方程解已知圆C：x2y24x4y70关于x轴对称的圆为C1：(x2)2(y2)21，其圆心C1的坐标为(2，2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切(4分)设l的方程为y3k(x3)，则1，即12k225k120.k1，k2.则l的方程为4x3y30或3x4y30.直线与圆练习（2）一、选择题1若直线2axby20 (a0，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则的最小值为()A. B. C2 D42若曲线C1：x2y22x0与曲线C2：y(ymxm)0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()A(，) B(，0)(0，) C， D(，)(，)3设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于 ()A4 B4C8D84若圆C：x2y2ax2y10和圆x2y21关于直线l1：xy10对称，动圆P与圆C相外切且与直线l2：x1相切，则动圆P的圆心的轨迹方程是()Ax2y2x0 By22x2y30Cy26x2y20 Dx2y22x2y0二、填空题5若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_4_6已知圆C1：x2y22mx4ym250与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C2相切，则实数m_2或5或1_.7过点M的直线l与圆C：(x1)2y24交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为_2x4y30_8圆x2y28内一点P(1,2)，过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点当弦AB被点P平分时，则直线l的方程为 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，y1y24.由两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，即2(x1x2)4(y1y2)0，kAB.(10分)直线l的方程为y2(x1)，即x2y50.9已知AC、BD为圆O：x2y24的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)， 则四边形ABCD的面积的最大值为_解析：设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有dd3.由平面几何知识知AC2，BD2，S四边形ABCDACBD2(4d)(4d)8(dd)5，即四边形ABCD的面积的最大值为5.10若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范围是_解析：y3变形为(x2)2(y3)24(0x4,1y3)，表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示若直线yxb与曲线y3有公共点，只需直线yxb在图中两直线之间(包括图中两条直线)，yxb与下半圆相切时，圆心到直线yxb的距离为2，即2，解得b12或b12(舍去)，b的取值范围为12b3.答案：12，3三、解答题11在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线yx相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q