2020届高三数学 解三角形的综合问题期末复习测试卷 文

解三角形的综合问题(40分钟)一、选择题1.(2020淮南模拟)三角形两条边长分别为2和3,其夹角的余弦值是方程2x2-3x+1=0的根,则此三角形周长为()A.7B.7C.5+7D.5+232.(2020遂宁模拟)在ABC中,AB=3,AC=1,B=30,则ABC的面积等 于()A.32B.34C.32或34D.32或33.一艘海轮从A处出发,以每小时40nmile的速度沿东偏南50方向直线航行,30min后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,那么B,C两点间的距离是()A.102nmileB.103n mileC.202nmileD.203nmile4.(2020天津模拟)已知ABC的周长为2+1,面积为16sinC且sinA+sinB=2sinC,则角C为()A.30B.60C.45D.905.某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为113,111,15,则此人()A.不能作出这样的三角形B.能作出一个锐角三角形C.能作出一个直角三角形D.能作出一个钝角三角形二、填空题6.(2020马鞍山模拟)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2asinC,bc=4,则ABC的面积是.7.(2020湖北高考)设ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C=.8.(2020运城模拟)ABC中,角A,B,C所对的边a,b,c成等差数列,且最大角是最小角的2倍,则cosA+cosC=.三、解答题9.(2020重庆高考)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2=b2+c2+3bc.(1)求A.(2)设a=3,S为ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此时B的值.10.(2020四川高考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-35.(1)求sinA的值.(2)若a=42,b=5,求向量BA在BC方向上的投影.11.已知甲船正在大海上航行.当它位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C处的乙船,乙船当即也决定匀速前往救援,并且与甲船同时到达.(1)试问乙船航行速度的大小.(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示,结果精确到1).答案解析1.【解析】选C.方程2x2-3x+1=0的根是12和1,所以三角形中该夹角的余弦值为12,由余弦定理得第三边长为22+32-22312=7,所以该三角形的周长为5+7.2.【解析】选C.由余弦定理得AC2=BC2+AB2-2BCABcosB,即1=BC2+3-2BC332,化简得BC=1或BC=2.所以SABC=12ABBCsinB=34或32.3.【解析】选A.如图,由条件可知ABC中,BAC=30,ABC=105,AB=20nmile,ACB=45,由正弦定理得BCsin30=20sin45,所以BC=102nmile,故选A.4.【解析】选B.由题意知a+b+c=2+1,12absinC=16sinC,a+b=2c,即a+b=2,ab=13,c=1.所以cosC=a2+b2-c22ab=(a+b)2-2ab-12ab=(2)2-23-1213=12,所以C=60.5.【解析】选D.设三角形的面积为S,三边长分别为a,b,c,则12a113=S,所以a=26S,同理可得另两边长b=22S,c=10S,由余弦定理,cosA=b2+c2-a22bc=(22S)2+(10S)2-(26S)2222S10S=-231100,所以A为钝角.6.【解析】由正弦定理得sinC=2sinAsinC,所以sinA=12,所以SABC=12bcsinA=12412=1.答案:17.【解析】由(a+b-c)(a+b+c)=ab,可知a2+b2-c2=-ab.又cosC=a2+b2-c22ab=-12,所以C=120.答案:1208.【解析】设A为最大角,则A=2C,a+c=2b,asinA=csinC,则a2cosC=c,所以cosC=a2c=a2+b2-c22ab.由得a=32c,则cosC=34,cosA+cosC=2cos2C-1+cosC=78.答案:789.【解析】(1)由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=-3bc2bc=-32.又因0A,所以A=56.(2)由(1)得sinA=12,又由正弦定理及a=3得S=12bcsinA=12asinBsinAasinC=3sinBsinC,因此,S+3cosBcosC=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C).所以,当B=C,即B=-A2=12时,S+3cosBcosC取得最大值3.10. 【解析】(1)由cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-35,得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35.则cos(A-B+B)=-35,即cosA=-35.又0Ab,则AB,故B=4.根据余弦定理,有(42)2=52+c2-25c-35,解得c=1或c=-7(负值舍去).故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB=22.11.【解题提示】据题意作出示意图,把实际问题转化为解三角形问题,利用正、余弦定理求解.【解析】(1)设C与B的距离为x海里,所用时间为2010=2(小时),则x2=AC2+AB2-2ABACcos120=102+202+2201012=70