高一数学映射人教版知识精讲

高一数学高一数学映射映射人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 映射 二. 学习目标： 1. 了解映射的概念，了解象、原象的概念。 2. 了解一一映射的概念。 三. 知识讲解： 1. 映射的概念： 设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应的法则，对于集合 A 中的任何一个元素，在 集合 B 中都有惟一的元素和它对应，则这样的对应叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作： 。BAf： 映射是由集合 A、B 及从 A 到 B 的对应法则 f 确定的，取元的任意性和成象的惟一性 刻划了映射的本质属性，即集合 A 中的任一元素在集合 B 中都有惟一的象。 2. 一一映射： 设 A、B 是两个集合，是集合 A 到 B 的映射，如果在这个映射下，对于集BAf： 合 A 中的不同元素，在集合 B 中有不同的象，而且 B 中每一个元素都有原象，那么这个映 射叫做从 A 到 B 上的一一映射。BAf： 一一映射是一种特殊的映射，它要求对 A 中的不同元素，在集合 B 中有不同的象；并 且集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 【典型例题典型例题】 例 1 已知是集合 A 到集合 B 的一个映射，则以下列命题的个数是（ BAf：Bb ）。 （1）存在，且，使得，且；AaBccb baf)(Caf)( （2）存在，使；AaBaf)( （3）有且仅有，使；Aabaf)( （4）至少有一个，使。Aabaf)( A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 解：解：依据映射的定义逐个进行判断，（1）不符合映射概念中象的惟一性；（2）不符 合映射概念中取元的任意性，即 A 中的任何一个元素在 B 中都有象；（3）映射的概念中 允许 B 中元素没有原象或 B 中一个元素同时有多个原象，故（3）也是假命题，（4）B 中 元素可以在 A 中无原象，故（4）也是假命题，因此本题给出的四个命题都是假命题，应 选 D。 例 2 已知集合 A 到集体的映射，那么集合 A 中的元1, 2 1 , 0, 1B 1 1 2 x xf： 素最多是几个，并求出此时的集合 A。 解：解：由于集合 A 中元素在 f 作用下的象集是 B 的子集，故只要求出 B 中的元素所有可 能的原象，并把所有这些原象的集合作为 A。 由于，故 0 在 A 中无原象。0 1 1 2 x 当时，；1 1 1 2 x 0x 当时，或； 2 1 1 1 2 x 3x3x 当时，或。1 1 1 2 x 2x2x 所以 A 中元素最多只能是 5 个，即。3,2, 0,2, 3A 例 3 设，, 3, 2| ),( * NyZxyxxyxA2, 1, 0B 是 A 到 B 的对应关系，试判断这种对应关系是否从 A 到 B 的映射？yxyxf),( ： 解：解：由，且，则或 0 或 1，又由，且，则Zx2|x1x * Ny3 yx ，由知，)1, 1 (),2, 0(),1, 0(),3, 1(),2, 1(),1, 1(Ayxyxf),( ： A 中的每个元素中的两个元素之和都在集合 B 中，根据映射定义可知，对 A 中任一元素， 在 f 作用下，都对应 B 中惟一元素，因此 f 是从 A 到 B 的映射。 例 4 设集合 A 和 B 都是坐标平面上的点集，映射把集合,),(RyxyxBAf： A 中的元素（x，y）映射成集合 B 中的元素，求在 f 作用下，象（2，1）),(yxyx 的原象。 解：解：此题为 2000 年高考试题天津卷第一题，主要考查映射的概念。 由 解得 1 2 yx yx 2 1 2 3 y x 故原象为。) 2 1 , 2 3 ( 例 5 设，f 是从集合 A 到集合 A 的映射，在 f 作用下，A 的任何一82xxA 个元素和它的象在数轴上对应的点关于实数 3 对应的点对称，求映射。BAf： 解：解：设 x 为 A 中任意元素，为 x 的象。)(xf 由已知 x 与关于 3 对应的点对称，则有，)(xf3 2 )( xfx xxf 6)( 所以从 B 到 A 的映射。xyxf6： 【模拟试题模拟试题】 1. 设集合 A 和 B 都是自然数集 N，映射把集合 A 中的元素 n 映射到集合 BBAf： 中的元素，则在映射 f 下，象 20 的原象是（ ）n n 2 A. 2B. 3C. 4D. 5 2. 已知映射，其中集合，集合 B 中的元素BAf：4, 3 , 2, 1, 1, 2, 3A 都是 A 中的元素在映射 f 下的象，且对任意的，在 B 中和它对应的元素是，则Aa| a 集合 B 中元素的个数是（ ） A. 4B. 5C. 6D. 7 3. 已知集合，把 A 中的元素（x，y）映射到,|