2020届高三数学二轮复习 极限突破 专题三 转化与化归思想

专题三：转化与化归思想专题三：转化与化归思想 【考情分析】 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化 归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数 学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等各种变换、具体解题方法都是转化 的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。数学问题解答题离不 开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占 比重很大，是历年高考考查的重点。 预测 2020 年高考对本讲的考查为： （1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。 （2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。 （3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。 （4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。 【知识交汇】 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变 换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问 题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解 决的问题。从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化， 进而达到解题目的的一个探索过程。 1转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的， 才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进 行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根） ，它能带来思维的闪光点，找到解决问题 的突破口。 2常见的转化方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种 状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题 的有效策略，同时也是成功的思维方式。常见的转化方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题； （2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基 本问题； （3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题； （5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重 要途径； （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径； （7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原 问题； （8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问 题通过一般化的途径进行转化； （9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的； （10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合 A， 而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集 U，通过解决全集 U 及补集获得原问题ACU 的解决。 3化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经 验和问题来解决； （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决 复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据； （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的 和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维 规律； （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决； （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的 反面去探求，使问题获解。 4转化与化归的指导思想 (1)把什么问题进行转化，即化归对象； (2)化归到何处去，即化归目标； (3)如何进行化归，即化归方法； 化归与转化思想是一切数学思想方法的核心。 【思想方法】 题型 1：集合问题 例 1 （2020 广东理 2）已知集合 A= (x，y)|x，y 为实数，且，B=(x，y) 1 22 yx |x，y 为实数，且 y=x， 则 A B 的元素个数为（ ） A0 B 1 C2 D3 C.,O(0,0), xy;1A: 22 故选故直线与圆有两个交点由于直线经过圆内的点组成的集体 上的所有点表示直线集合上的所有点组成的集合表示由圆集合解析Byx （2）已知函数 12)2(24)( 22 ppxpxxf ,在区间 1 , 1 上至少存在一个实数c使 0)(cf ,求实数 p的取值范围. 分析:运用补集概念求解。 解答：设所求 p的范围为 A,则ACI 22 2)2(24)( 1 , 1pxpxxfp上函数在 01 p 注意到函数的图象开口向上 ； 2 3 3 012) 1( 0932) 1 ( 2 2 ppp ppf ppf pACI或 2 3 3PPA 点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解 的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。 题型 2：函数问题 例 2 （2020 天津理 21）已知函数 e x f xx xR （）求函数 f x 的单调区间和极值； （）已知函数 yg x 的图象与函数 yf x 的图象关于直线 1x 对称证明 当 1x 时， f xg x ； （）如果 12 xx ，且 12 f xf x ，证明 12 2xx 。 解析：（） 1e x fxx 令 1e0 x fxx ，则 1x ； 当x变化时， ,fxf x 的变化情况如下表： x ,1 1 1, fx 0 f x 增极大值减 所以 f x 在区间 ,1 内是增函数，在区间 1, 内是减函数。 函数 f x 在 1x 处取得极大值 1f 且 1 1 e f （）因为函数 yg x 的图象与函数 yf x 的图象关于直线 1x 对称， 所以 2g xfx ，于是 2 2exg xx 记 F xf xg x ，则 2 e2 e xx F xxx ， 22 1 e1 e xx Fxx ， 当 1x 时，2 20 x ，从而 22 e10 x ，又e 0 x ，所以 0Fx ， 于是函数 F x 在区间 1, 上是增函数 因为 11 1ee0F ，所以，当 1x 时， 10F xF 因此 f xg x （）(1) 若 12 110 xx ，由（）及 12 f xf x ,得 12 xx ,与 12 xx 矛盾； (2) 若 12 110 xx ，由由（）及 12 f xf x ,得 12 xx ,与 12 xx 矛盾； 根据(1)，(2)可得 12 110 xx 不妨设 12 1,1xx 由（）可知 222 2f xg xfx ，所以 1222 2f xf xg xfx 因为 2 1x ，所以 2 21x ，又 1 1x ，由（） ， f x 在区间 ,1 内是增函数， 所以 12 2xx ，即 12 2xx 点评：函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟” ，解决方程、不等式的问题需要函数帮 助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化 与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量 的范围 题型 3：不等式问题 例 3 （1） （2020 四川文 11）某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车某天需运往地至少 72 吨的货物，派用的A 每辆车需满载且只运送一次派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元，该公司合理计划当天 派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为 （A）4650 元（B）4700 元（C）4900 元（D）5000 元 （2） （2020 江苏 14）设集合, ,)2( 2 | ),( 222 Ryxmyx m yxA , 若 则实数 m 的取值范围是, 122| ),(RyxmyxmyxB, BA _； 解析：（1）C：设派用甲型卡车x（辆） ，乙型卡车y（辆） ，获得的利润为u（元） ， ，由题意，x、y满足关系式作出相应的平面区域，450350uxy 12, 219, 10672, 08, 07, xy xy xy x y 在由确定的交点处取得最大值 4900 元，选45035050(97 )uxyxy 12, 219 xy xy (7,5) C 评析：将最大值转化为 y 轴上的截距，将 m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选 C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想， 属中档题。 （2）解析：当时，集合 A 是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合 B 是0m m 在两条平行线之间； ，因为此时无解；当时， 2212 (12)0 22 m mm , BA0m 集合 A 是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合 B 是在两条平行线之间， 2 m m 必有 。 2 21 2 2 2 2 m m m m .又因为。 21 21 2 m 2 m1 ,21 22 mm 【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量 转化为最值的方法求解。构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数， 把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的。 题型 4：三角问题 例 4 （1） （2020 四川理 6）在ABC 中.则 A 的取值 222 sinsinsinsinsinBCBC 范围是 (A)(0， (B) ，) (c)(0， (D) ，) 6 6 3 3 答案：C；解析：由题意正弦定理 。 222 222222 1 1cos0 23 bca abcbcbcabcAA bc 点评：本小题主要考查解三角形知识，并突出了边角互化这一转化思想的应用。 （2）若，则（ ）0 4 ，sincossincosab ABabab CDab 1ab 2 解析：若直接比较 a 与 b 的大小比较困难，若将 a 与 b 大小比较转化为的大ab 22 与 小比较就容易多了。 因为ab 22 1212sinsin， 又因为022 2 所以，所以sinsin22ab 22 又因为，所以ab， 0ab 故选（A） 。 点评：体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值 （域） 、最值、比较大小等问题。 题型 5：数列问题 例 5 （2020 辽宁理数，16）已知数列 n a满足 11 33,2 , nn aaan 则 n a n 的最 小值为_. 【答案】 21 2 【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函 数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n 所以 33 1 n a n nn 设( )f n 33 1n n ，令( )f n 2 33 10 n ，则( )f n在( 33,)上是单调递 增，在(0, 33)上是递减的，因为 nN+,所以当 n=5 或 6 时( )f n有最小值。 又因为 5 53 55 a ， 6 6321 662 a ，所以， n a n 的最小值为 6 21 62 a . 点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的 项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。 如等差数列的通项公式，前 n 项的和公式 anaa n 1 ()()nddnad1 1 。当时，可以看作自变量 n 的一次和二次Sna n n d d na d n n 1 2 1 1 222 () ()d 0 函数。因此利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生 解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。 题型 6：立体几何问题 例 6 （1）如果，三棱锥 PABC 中，已知 PABC，PA=BC=l，PA，BC 的公垂线 ED=h求证三棱锥 PABC 的体积。 2 1 6 Vl h 分析：如视 P 为顶点，ABC 为底面，则无论是 SABC以及高 h 都不好 求如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走 出困境 解析：如图，连结 EB，EC，由 PABC，PAED，EDBC=E，可得 PA面 ECD这样， 截面 ECD 将原三棱锥切割成两个分别以 ECD 为底面，以 PE、AE 为高的小三棱锥，而它们的 底面积相等，高相加等于 PE+AE=PA=l，所以 VPABC=VPECD+VAECD=SECDAE+SECDPE=SECD PA 1 3 1 3 1 3 =BCEDPA=。 1 3 1 2 2 1 6 Vl h 点评：辅助截面 ECD 的添设使问题转化为已知问题迎刃而解。 （2）如图，在三棱锥 S-ABC 中，S 在底面上的射影 N 位于底面的高 CD 上，M 是侧棱 SC 上的一点，使截面 MAB 与底面所成角等于NSC。求证：SC 垂直于截面 MAB。 （83 年全国高 考） 分析：由三垂线定理容易证明 SCAB，再在平面 SDNC 中利用平面几何知识证明 SCDM。 证明：由已知可得：SN底面 ABC，ABCD，CD 是斜线 SC 在底面 AB 的射影， ABSC。 ABSC、ABCD AB平面 SDNC MDC 就是截面 MAB 与底面所成的二面角 由已知得MDCNSC 又 DCMSCN DCMSCM DMCSNCRt 即 SCDM 所以 SC截面 MAB。 点评：立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个 平面上的证明时运用平面几何知识。 题型 7：解析几何问题 例 7 （1）设 x、yR 且 3x 2y 6x，求 x y 的范围。 2222 分析：设 kx y ，再代入消去 y，转化为关于 x 的方程有实数解时求参数 k 范围的 22 问题。其中要注意隐含条件，即 x 的范围。 解析：由 6x3x 2y 0 得 0x2。 22 设 kx y ，则 y kx ，代入已知等式得：x 6x2k0 ， 22222 即 kx 3x，其对称轴为 x3。 1 2 2 由 0x2 得 k0,4。 所以 x y 的范围是：0x y 4。 2222 另解：数形结合法（转化为解析几何问题）： 由 3x 2y 6x 得(x1) 1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。 222 y 2 3 2 x y 的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是 0,距离最大 22 的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为 x y k，代入椭圆中消 y 得 22 x 6x2k0。由判别式368k0 得 k4,所以 x y 的范围是： 222 0x y 4。 22 再解：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）： 由 3x 2y 6x 得(x1) 1，设，则 222 y 2 3 2 x y 1 6 2 cos sin x y 12coscos sin 12coscos 222 3 2 2 3 2 1 2 2 cos 2cos0,4 1 2 2 5 2 所以 x y 的范围是：0x y 4。 2222 点评：题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助 于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代 数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。 （2）ABC 的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为 H，m（OOHOAOB ） ，则实数 mOC 分析：如果用一般的三角形解决本题较难，不妨设ABC 是以A 为直角的直角三角形， 则为斜边 BC 上的中点，H 与 A 重合，于是得出 m1。OOAOBOCOAOH 点评：这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多，如归纳、猜想、证明的方法， 过定点问题，定值问题也可以用这样的思路。 题型 8：具体、抽象问题 例 8若 f（x）和 g（x）都是定义在实数集 R 上的函数，且方程 xfg（x） 0 有实数解，则 gf（x） 不可能是（ ） （A）x2x （B） x2x （C）x2 （D）x2 5 1 5 1 5 1 5 1 分析：本题直接解不容易，不妨令 f（x）x，则 fg（x） g（x） ，gf（x） g（x） ，xfg（x） 0 有实数解即 xg（x）0 有实数解。这样很明显得出结论， B 使 xg（x）0 没有实数解，选 B 这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式 还有一次函数型 f（xy）f（x）f（y）m，对数函数型 f（xy）f（x）f（y） ， 幂函数型 f（xy）f（x）f（y） 。 点评：把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和 再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归。 题型 9：正难则反转化问题 例 9 （2020 山东理 20）等比数列 n a中， 123 ,a a a分别是下表第一、二、三行中的 某一个数，且 123 ,a a a中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列第二列第三列 第一行 3210 第二行 6414 第三行 9818 （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b满足：( 1)ln nnn baa ，求数列 n b的前2n项和 2n S. 【解析】 （）当 1 3a 时，不合题意；当 1 2a 时，当且仅当 23 6,18aa 时，符 合题意；当 1 10a 时，不合题意。 由题意知 123 2,6,18aaa,因为 n a是等比数列,所以公比为 3,所以数列 n a的 通项公式 1 2 3n n a . （）因为( 1)ln nnn baa = 1 2 3n 1 ( 1)ln2 3n, 所以 12nn Sbbb 1212 ()(lnlnln) nn aaaaaa= 2(1 3 ) 1 3 n - 12 ln n a a a=31 n - 121 ln(21 333) nn = 31 n - (1) 2 ln(23) n n n ,所以 2n S= 2 31 n - 2 (21) 2 2 ln(23) nn n =91 n - 2 2 ln2(2)ln3nnn 。 点评：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从 问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这 叫做“正难则反” 。 “正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题 和生活中的问题获得巧解。 题型 10：实际应用问题 例 10把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是 P，怎样设计才 能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。 分析：这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。 解析：如图，设矩形的一边长为 x,则半圆的周长为 2 x 矩形的另一边长为=) 2 ( 2 1x xPAB 4 )2(2xP 设零件的面积为 S，则 S= 2 1 xx2 4 4 )2(2xP x P x 28 4 2 a0 当时，S 有最大值，这时 AB=。 4 2 2 P a b x 4 P 当矩形的两邻边 AB 与 BC 之比为 12 时，Smax=。 28 2 P x O D CB A 点评：实际问题转化为数学问题，用数学结果解释最终的实际问题。 【思维总结思维总结】 1熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机 敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要 对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识 地去发