2020届高三数学第一轮复习《椭圆 》讲义

椭圆要点1.椭圆的概念平面上两个固定点F1和F2的距离之和等于一个常数(大于|F1F2|)的点的轨迹称为_ _椭圆_。这两个固定点称为_ _焦点_ _，两个焦点之间的距离称为_ _焦距_ _。设置p=m | | mf1 | | mf2 |=2a，| f1f2 |=2c，其中a0、c0和a、c为常数：(1)如果_ _ _ _ _ AC _ _ _ _ _，那么集合P是一个椭圆；(2)如果_ _ _ a=c _ _ _，则集合p是线段；(3)如果_ ab0)+=1 (ab0)数字性质量范围-axa-byb-bxb-aya对称对称轴：坐标轴对称轴中心：原点顶点A1(-a，0)，A2(a，0)B1(0，-b)，B2(0，b)A1(0，-a)，A2(0，a)B1(-b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长度是2a；短轴B1B2的长度是2b焦距|F1F2|=2c古怪e=(0，1)a、b、c之间的关系c2=a2-b2椭圆的几何性质可以分为两类：一类是独立于坐标轴的椭圆的固有性质。椭圆方程中的a、B、C和E独立于坐标系。第二种类型的属性随着坐标系的变化而变化。焦点坐标和顶点坐标与坐标系相关。确定椭圆方程需要三个条件，两个成形条件是：A和B；一个定位条件：焦点坐标。(1)椭圆中有一个非常重要的三角形1B2(如右图所示)。它的三个边是A，B和c。很容易看到c2=a2-b2，如果记住了OF1B2=，然后cos =e。(2)在椭圆的定义中，应注意常数大于|F1F2|。因为当平面中的移动点与固定点F1、F2之间的距离之和等于| F1、F2 |时，移动点轨迹就是线段F1、F2；当平面上的移动点与固定点F1和F2之间的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在。(3)在从椭圆上任意点m到焦点f的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别是最大距离和最小距离，最大距离是c，最小距离是-c .3.为了找到椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，通常使用待定系数法(先定性，然后固定，然后固定参数)。当椭圆的焦点位置不清楚且无法确定其标准方程时，可将方程设置为=1 (M0、n0和mn)，这可避免讨论和复杂的计算，或设置为AX2 BY2=1 (A0、B0和AB)，这在解决问题时更简单。基本自测：1.椭圆5x2 ky2=5的一个焦点是(0，2)，然后k等于()A.-公元前1年-2.众所周知，F1和F2是椭圆=1的两个焦点，直线交点F2在点A和点B处与椭圆相交。在AF1B中，如果两条边之和为10，则第三条边的长度为()a6 b . 5 c . 4d . 33.众所周知，圆心(x 2) 2 y2=36是m，a是圆上的任意一点，N(2，0)。如果线段a的垂直平分线与点p相交，则移动点p的轨迹为()A.圆b .椭圆c .双曲线d .抛物线4.从椭圆=1上的点m到焦点F1的距离是2，n是MF1的中点，那么|ON|等于()A.2 B.4 C.8 D5.众所周知，F1和F2是椭圆=1的两个焦点。点P在椭圆上。如果线段PF1的中点在Y轴上，并且| PF1 |=T | PF2 |，则T的值为()a3 b . 4 c . 5d . 76.-3b0)或=1 (ab0)，或不考虑焦点位置，椭圆方程为mx2 ny2=1 (m0，n0，m n)。解决方案(1)如果椭圆的焦点在X轴上，将等式设置为=1 (AB0)。椭圆通过点A(3，0)，b=1， a=3，2a=32b， b=1，方程y2=1。如果椭圆的焦点在y轴上，则将公式设置为=1 (ab0)。椭圆通过点A(3，0)， 1， b=3，2a=32b， a=9，等式是=1。总而言之，椭圆圆的方程是y2=1或=1。(2)假设b的椭圆标准方程是通过两点A(0，2)的mx2 ny2=1。将坐标a和b代入方程，得到8756。椭圆方程是x2=1。变型训练1 (1)给定椭圆通过(3，0)，偏心率e=，求解椭圆的标准方程；解(1)当椭圆的焦点在x轴上时， a=3，=， c=，因此B2=a2-C2=9-6=3和8756；椭圆的标准方程是=1。当椭圆的焦点在y轴上时， b=3，=， a2=27。椭圆的标准方程是=1。椭圆的标准方程是=1或=1。(2)假设点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两个焦点的距离分别求和，以P为长轴的垂线只通过椭圆的一个焦点，得到椭圆的方程。如果求解椭圆的标准方程为=1 (ab0)或=1 (ab0)，并且两个焦点分别为F1和F2，则2a=| pf1 | | pf2 |=2，8756；a=。设x=c为| y |=，在等式=1中，让y=c有| x |=，在等式=1中，根据主题的含义并结合图形=。 B2=。也就是说，椭圆的标准方程是=1或=1。2型椭圆的定义及应用示例2移动圆与已知圆O1相切：(x 3) 2 Y2=1，与圆O2相切：(x-3) 2 Y2=81。试着找出运动圆中心的轨迹方程。解决方案如图所示。让移动圆的中心是c，半径是r。根据圆的切线性质，| co1 |=1 r，| CO2 |=9-r，|CO1|+|CO2|=10，| O1O2 |=6，点c的轨迹是以O1和O2为焦点的椭圆，其中2a=10，2c=6，b=4。运动圆心的轨迹方程是+=1。变型训练2找到通过点A(2，0)并与圆x2 4x y2-32=0内接的圆心的轨迹方程。该解将圆的方程转换成标准形式，如下所示：(x 2) 2 y2=62，中心b (-2，0)，r=6。假设移动圆的中心m的坐标是(x，y)，移动圆和已知圆之间的切点是c。然后| BC |-| MC |=| BM |，并且| BC |=6， BM | | cm |=6。和| cm |=| am |，|BM|+|AM|=6|AB|=4.点m的轨迹是以点b (-2，0)、B(-2，0)为焦点、线段a B的中点(0，0)为中心的椭圆。a=3，c=2，b=。轨迹方程是=1。三个椭圆的几何性质例3众所周知，F1和F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，F1Pf2=60。(1)找出椭圆的偏心范围；(2)验证：F1PF2的面积仅与椭圆的短轴长度有关。解题指南(1)椭圆上的一个点和两个焦点形成的三角形称为椭圆的焦点三角形。与焦点三角形相关的计算或证明经常使用正弦定理、余弦定理、| PF1 | | PF2 |=2a来获得A和C之间的关系(2)F1PF 2的处理(1)将椭圆方程求解为=1 (ab0)，|PF1|=m，|PF2|=n在PF1F2中，可以从余弦定理看出，4c2=m2+n2-2mncos 60。m+n=2a,m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn. 4c2=4a2-3mn，即3mn=4a2-4c2。并且Mn 2=a2(当且仅当m=n时为等号)， 4a2-4c2 3a2。，即e 3 a2。e值的范围是。(2)由(1)证明Mn=B2， S PF1F2=MnSiN60=B2，PF1F2的面积仅与短轴长度有关。变体训练3 (1)已知椭圆=1 (AB0)的长轴和短轴的端点分别是A和B。从垂直于X轴的椭圆上的点M(在X轴之上)，它仅仅通过椭圆的左焦点F1，ABOM。(1)计算椭圆的偏心率e；(2)设Q为椭圆上的任意点，F1和F2分别为左右焦点，求出F1QF2的取值范围。解F1(-C，0)，然后XM=-C，YM=，kOM=-.KaB=-，OMAB，-=-, b=c，所以e=。(2)设置| f1q |=R1，| f2q |=R2，f1q 2=，r1+r2=2a,|F1F2|=2c，cos =-1-1=0，当且仅当R1=R2，cos =0，0,.(2)如果椭圆的中心是坐标的原点，长轴在X轴上，偏心率e=，从已知点P到椭圆上的点的最远距离是，求出椭圆的方程，并求出椭圆上点到点P的距离等于的点的坐标。分析：如果一个点在一个椭圆上，有-b y b，所以当点到椭圆上的点p的距离的最大值被找到时，它应该被分类讨论。解答：根据问题的含义，椭圆方程可以设置为(ab0)(省略)y2=1椭圆上点到点p的距离等于的点的坐标是和注意椭圆上的点的坐标范围，特别是当椭圆上的点的坐标被视为函数问题的解时，例如单调区间和函数的最大值。(3)已知椭圆的长轴长度=1 (AB0)为4，偏心率为，点P是椭圆上不同于顶点的任何点，交点P是椭圆的切线L，交点Y轴在点A，应变为解决方案:2a=4，=， a=2，c=1，b=1。椭圆圆的方程是=1。(2)可以。设定点P(x0，y0) (x00，y00)，从这个问题可以知道直线l的斜率。让直线l的方程为y-y0=k (x-x0)，代入=1，(3 4k 2)x2 8k(y0-kx0)x 4(y0-kx0)2-12=0。x=x0是方程的两个相等的实根， 2x0=-，解是k=-.线l的方程是y-y0=-(x-x0)。设x=0，a点的坐标为。 4y20 3x20=12。点a的坐标是。直线l的方程式是y-y0=(x-x0)，设x=0，b点的坐标为。以AB为直径的圆的方程式是xx=0。完成后，x2 y2 y-1=0。如果y=0，x=1，以AB为直径的圆在固定点(1，0)和(-1，0)上是不变的。问题类型4:直线和椭圆之间的位置关系例4已知椭圆的偏心率=1 (AB0)是e=，并且通过连接椭圆的四个顶点获得的菱形面积是4。(1)得到椭圆圆方程；(2)让直线L和椭圆在两个不同的点A、B相交。已知点A的坐标是(-A，0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，并且=4。找到你的价值。解(1)是从e=，3a2=4c2，然后从C2=a2-B2，A=2b，2a2b=4，ab=2。解方程的结果是a=2，b=1，椭圆方程是y2=1。(2)从(1)可知，直线的斜率必须存在。假设点b的坐标是(x1，y1)，直线l的斜率是k，那么l的等式是y=k (x 2)。因此，点a和b的坐标满足方程组。通过从方程中消除y并将其排序，(1 4k2) x2 16k2x (16k2-4)=0。From - 2x1=，x1=，因此y1=。假设线段AB的中点是m，那么m点的坐标是。有两种情况：(1)当k=0时，点B的坐标为(2，0)，线段AB的垂直平分线为Y轴。所以=(-2，-y0)，=(2，-y0)。From=4，y0=2。(2)当k0时，线段AB的垂直平分线方程为Y-=-。让x=0，得到y0=-.By=(-2，-y0)，=(x1，y1-y0)，=-2x1-y0(y1-y0)=+=4，7 k2=2。所以k=，所以y0=。总而言之，y0=2或y0=1。为了探索和改进(1)在解决直线和椭圆问题时，我们经常把两条曲线的方程结合起来，去掉x(或y)来建立二次方程。然后利用根与系数的关系，结合问题设置条件，建立相关参数的等价关系。(2)在求解线性方程时，需要综合考虑。例如，直线L和X轴重合的特殊形式在这个题目(2)的解中经常被忽略。变型训练4(1)知道中心在原点，焦点在X轴上的椭圆C的偏心率是，并且穿过点P(2，1)的直线L在不同的两点A、B处与椭圆C相交。(2)有直线L，满足=2吗？如果存在，则得到直线L的方程。如果没有，请解释原因。解让椭圆的方程为=1 (AB0)，A2=4和B2=3是从问题的解中得到的。因此，椭圆的方程式是=1。(2)如果有一条直线l满足条件，从问题意义上可以将直线l的方程设为y=k (x-2) 1，由获取(3 4K2) X2-8K (2K-1) X 16K2-16K-8=0。因为直线L和椭圆C相交于不同的两点A、B，让点a和b的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)。所以=-8K(2K-1)2-4(34K 2)(16K 2-16K-8)0。结果是32(6k 3)0和k-.x1 x2=，x1+x2=，And=2，即，(x1-2) (x2-2) (y1-1) (y2-1)=，所以(x1-