高一数学三角函数与三角代换人教版知识精讲

高一数学高一数学三角函数与三角代换三角函数与三角代换人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 三角函数与三角代换 二. 本周教学重难点： 三角函数的图象和性质、正、余弦定理、三角函数的应用。 【典型例题典型例题】 例 1 已知（）5cossin34cos4)( 2 xxxxfRx （1）求取得最大值时的集合；)(xfx （2）求的单调递增区间。)(xf 解：解：32cos22sin3252sin32 2 2cos1 4)( xxx x xf 3) 6 2sin(4 x （1）当时，取得最大值，这时（）1) 6 2sin( x)(xf 2 2 6 2 kxZk （） 3 kxZk 使取得最大值的的集合为，)(xfx 3 | kxxZk （2）令（） kxk2 26 22 2 Zk （） kxk 36 k 的单调增区间为（）)(xf 3 , 6 kkZk 例 2 已知正弦函数（，）的一部分图象如图所示。)sin(xAy0A0 （1）求此函数的解析式；)( 1 xf （2）求与的图象关于对称的函数解析式)( 1 xf8x)( 2 xf （3）作出函数的图象的简图。)()( 21 xfxfy 解：解： （1）设，由图象可知，)sin(xAy2A16)26(4 2 T 解得，即， 8 ) 8 sin(2 xy 将，代入得2x2y)2 8 sin(22 即 解得1) 4 sin( 4 ) 48 sin(2)( 1 xxf （2）设（，）是图象上的任意点，与它关于直线对称的点为（， x y )( 1 xf8xx ） y 则代入中 yy xx16 )( 1 xfy 可得) 4 3 8 sin(2 4 )16( 8 sin2 xxy ) 4 3 8 sin(2)( 2 xxf （3）xxxxfxfy 8 cos2) 4 3 8 sin(2) 48 sin(2)()( 21 简图如图所示。 O-44 812 2 x y 例 3 已知的图象关于直线对称，求实数的值。)(xfxax2cos2sin 6 xa 解法解法 1：将变形为xaxxf2cos2sin)()2sin(1)( 2 xaxf 直线是其一条对称轴 必是的最大值或最小值 6 x) 6 ( f)(xf 从而，即1| ) 6 (| 2 af 1| ) 3 cos() 3 sin(| 2 aa 解得 3 3 a 解法解法 2： 的图象关于对称xaxxfcos2sin)( 6 x 取， 则 0 1 x 3 2 x) 3 ()0( ff 即 解得) 3 2 cos() 3 2 sin(0 aa 3 3 a 例 4 已知，且，试)cos(sin 1 xa)sin(cos 2 xa)1(cos 3 xa)0, 2 1 (x 比较，的大小。 1 a 2 a 3 a 解：解： ) 1, 2 1 (1x), 2 () 1( x0)1(cos 3 xa 又 ，)0, 2 ( x0)cos(sin 1 xa0)sin(cos 2 xa 设法比较与的大小 1 a 2 a 令，则，于是xt) 4 ,0() 2 1 ,0( t)cos(sin)cossin( 1 tta 由可知，)sin(cos)sincos( 2 tta) 2 ,0( t0sint0cost 且 2 2) 4 sin(2cossin ttt 2 sin 2 cos0 tt 由于正弦函数在（0，）上是增函数，故可得 2 ，即)cos(sin)sin 2 sin()sin(cos0ttt 12 aa 综上可知 123 aaa 例 5 已知，)sin,(cosa)sin,(cosb) 4 , 4 ( 4 ，求的值。 5 3 basin 解：解： ，即 5 3 ba 5 3 sinsincoscosa 5 3 )cos( 又 4 5 3 ) 4 cos( ) 4 , 4 ( )0, 2 ( 4 ， 5 4 ) 4 sin( 从而 4 ) 4 sin(sin 4 sin) 4 cos( 4 cos) 4 sin( 10 2 2 2 5 3 2 2 5 4 例 6 如图，ABCD 是一块边长为 100m 的正方形地皮，其中 AST 是一半径为 90m 的扇形 小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点 P 在上，相邻两边 CQ、CR 落在正方形的边 BC、CD 上，求矩形停车场 PQCR 面积的最 ST 大值和最小值。 B Q A M T P C S D R 解：解：设（） ，延长 RP 交 AB 于 M，则 AM=，MP=PAB900cos90 sin90 PQ=MB= cos90100sin90100MPMRPR )sin90100)(cos90100(PRPQS PQCR矩形 cossin8100)cos(sin900010000 令（）则cossint21 t 2 1 cossin 2 t 2 1 8100900010000 2 t tS PQCR矩形 950) 9 10 (4050 2 t 故当时，的最小值为，当时，的最大值为 9 10 t PQCR S矩形 2 950m2t PQCR S矩形 2 )2900014050(m 例 7 已知，问：是否存在满足)(cos)(coscos)( 222 F 的、，使得 F（）的值不随的变化而变化？如果存在。求出、0 的值；如果不存在，说明理由。 解：解： 2 )22cos(1 2 )22cos(1 2 2cos1 )( F )22cos()22cos(2cos 2 1 2 3 2sin)2sin2(sin 2 1 2cos)2cos2cos1( 2 1 2 3 的值不随变化的充要条件是，)(F 02sin2sin 02cos2cos1 可得 ，同理12sin)2cos1 ( 22 2 1 2cos 2 1 2cos 又 存在，满足题意。0 3 3 2 例 8 在中，角 A、B、C 所对的边分别为、，且，求ABCabcacb 2 的取值范围。 BB B y sincos 2sin1 解：解：由条件，利用余弦定理：acb 2 2 1 22 cos 22222 ac acca ac bca B 3 0 B 从而) 4 sin(2cossin sincos )cos(sin sincos 2sin1 2 BBB BB BB BB B y 即 12 7 44 B2) 4 sin(21 B2,1 (y 【模拟试题模拟试题】 一. 选择： 1. 函数定义在区间（ ，） （）内，则（ ）xysinttRt A. 有最大值 B. 有最大值或最小值 C. 有最小值D. 可能既无最大值又无最小值 2. 设，若、，且，则下列结论中，必xxxfsin)( 1 x 2 , 2 2 x)()( 21 xfxf 成立的是（ ） A. B. C. D. 21 xx 0 21 xx 21 xx 2 2 2 1 xx 3. 在（0，）内，使成立的取值范围为（ ）2xxcossinx A. ) 4 5 ,() 2 , 4 ( B. ), 4 ( C. ) 4 5 , 4 ( D. ) 2 3 , 4 5 (), 4 ( 4. 若 A、B、C 是的三个内角，且（） ，则下列结论中正确的ABCCBA 2 C 是（ ） A. B. CAtantanCAcotcot C. D. CAsinsinCAcoscos 5. 函数是奇函数，则等于（ ）)3sin()3cos(3)(xxxf A. B. C. D. k 6 k 3 k 3 k 6. 已知，且，则的值是（ ） 8 3 cossin 24 sincos A. B. C. D. 2 1 2 1 4 1 4 1 7. 函数的图象是轴对称图形，它的一条对称轴可以是（ ）) 6 2sin(3 xy A. 轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线y 6 x 12 x 3 x 8. 有四个函数： 其中周期xy 2 sin|sin|xy x x y 2sin 2cos1 |sin xy 为，且在（0，）上为增函数的是（ ）T 2 A. B. C. D. 二. 填空： 1. 若的图象关于轴对称，则的一个可取值为 。)3sin(xyy 2. 若的最小正周期为 T，且，则的取值范围为 。) 6 sin( xy 2 5 , 2 T 3. 函数的最小正周期为 。 xx xx y 2sin2cos 2sin2cos 4. 在高出地面的小山顶上建造一座电视塔 CD（如图） ，今在距离 B 点 60m 的地面m30 上取一点 A。若测得 CD 所张的角为，则该电视塔的高度为 m。45 AB C D 三. 解答题： 1. 已知、都是锐角，求的值。 5 4 cos 3 1 )tan(cos 2. 已知半径为 1，圆心角为的扇形，求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积。 3 D A O B C 3. 设、为锐角，且，问是否存在最大值与最小120 22 coscosy 值？如果存在请求出，如果不存在，请说明理由。 4. 已知外接圆半径为 6 的的边长为、，角 B、C 和面积 S 满足条件：ABCabc 和。 22 )(cbaS 3 4 sinsinCB （1）求；Asin （2）求面积的最大值。ABC 试题答案试题答案 一. 1. D 2. D 3. C 4. C 5. D 6. B 7. B 8. D 二. 1. 2. 或 3. 4. 150 2 5 4 ,44, 5 4 2 三. 1. 解： 、为锐角， ， 5 4 cos 5 3 sin 4 3 tan 9 13 ) 3 1 ( 4 3 1 ) 3 1 ( 4 3 )tan(tan1 )tan(tan )(tantan 从而 50 109 ) 9 13 (1 1 tan1 1 cos 2 2 2. 解：如图，设，则，) 3 0( COBsin|BCcos|OB 又 sin 3 3 3 cot| 3 cot|BCADOA sin 3 3 cos|AB )sin 3 3 (cossin ABCD S矩形 2 2cos1 3 3 2sin 2 1 6 3 ) 6 2sin( 3 3 6 3 2cos 6 3 2sin 2 1 当，即时，1) 6 2sin( 6 6 3 max S D A O B C 3. 解： 2 2cos1 2 2cos1 y)2cos2(cos 2 1 1 )cos( 2 1 1)cos()cos(1 、 )90,0(90900)cos( 即无最大值，故函数无最大值)cos( 22 cosc