2020年高三数学一轮复习平面向量复习教案和学案

1、向量的概念及运算一、考纲要求：（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；二、知识梳理：1向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：.几何表示法，；坐标表示法。向量的大小即向量的模（长度），记作|.即向量的大小，记作|。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行.零向量0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）单位向量模为1个单位长度的向量，向量为单位向量1。平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.相等向量长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为。大小相等，方向相同。2向量的运算（1）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法.设，则+=。规定：（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。（2）向量的减法 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量.记作,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。向量减法向量加上的相反向量叫做与的差，记作：.求两个向量差的运算，叫做向量的减法.作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。（3）实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的。数乘向量满足交换律、结合律与分配律.3两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。4平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.三、课前小题训练 1、已知向量且3（x+a）+2（x-2a）-4(x-a+b)=0,则向量x=_2、如图，设点P,Q是线段BC的三等分点， ABPQC若则(用表示)3、已知是两个不共线的向量，若a与b是共线向量，则实数k=_.4、（2020广东卷理）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为 _ 5.(2020山东卷理)设P是ABC所在平面内的一点，则下面结论正确的是_. .6、（江苏卷5），的夹角为， 则 7、在中，若点满足，则四、例题分析题型一、向量的基本概念1、判断下列命题的真假；（1）直角坐标系中坐标轴的非负半轴都是向量；（2）两个向量平行是两个向量相等的必要条件；（3）向量与是共线向量，则A,B,C,D必在同一直线上。（4）共线，与共线，则与也共线。（5）四边形ABCD是平行四边形的充要条件是.练习1（1）给出下列命题：若|，则=；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若=，=，则=；=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/；其中正确的序号是 。（2）设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=|;(2)若与a0平行，则=|；（3）若与平行且|=1，则=。上述命题中，假命题个数是_题型二：平面向量的运算法则例2（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量， 表示出来。（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以，=，= =+，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=+=+=2+，同样在平行四边形 BCDO中，()2，。点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。例3、如图所示，OADB是以向量为边的平行四边形，点C为对角线AB,OD的交点，又BM=BC,CN=CD,试用，表示 BOAD例4、如图所示，ABC中，D,F分别是BC,AC的中点，AE=2ED,（1）试用，表示向量(2)求证：B,E,F三点共线。练习2：1、（广东卷8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则_2、在ABC所在的平面内有一点P，满足,则PBC与ABC的面积之比是_。变式训练：（1）、在ABC内有一点P，满足，则P是ABC的_（填内心、外心、重心）反之是否成立？（2）、设O使ABC内部一点，且,则AOB与AOC的面积之比为_。3、OA B中，C为直线AB上一点，,求证：变式训练：在A BC中，已知D是AB边上一点，若,则的值为_。题型三、向量平行与垂直的条件1、已知不共线，.求证A,P,B三点共线的充要条件是a+b=1。2、（1）已知是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量满足，求的最大值。（2）在直角坐标系xoy中，分别是与x轴y轴平行的单位向量，若直角A BC中，求实数m的值。练习：1、（2020江苏卷）已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积= 。2、（2020全国卷理）设、是单位向量，且0，则的最小值为 _3、设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与_（位置关系）4、（2020宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）;题型四、运用数量积求角或距离1、已知（1）若与夹角为，求（2）若，求与夹角2、设向量与满足，求的值。练习：1、（2020陕西卷文）在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满