2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（北京卷解析版）（通用）

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（北京卷，解析版）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1） 已知全集U=R，集合，那么(A)() (B)() (C)（-1，1) (D)【答案】D【解析】：，故选D（2）复数 (A) (B ) (C) (D)【答案】A【解析】：，选A。（3）如果，那么（A） (B) (C) (D)【答案】D【解析】：，即故选D（4）若是真命题，是假命题，则（A）是真命题 (B)是假命题 (C)是真命题 (D)是真命题【答案】D【解析】：或（）一真必真，且（）一假必假，非（）真假相反，故选D（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(A)32(B)16+(C)48(D)【答案】B【解析】：由三视图可知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为，表面积故选B。（6）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为(A)2(B)3(C)4(D)5【答案】C【解析】执行三次循环，成立，成立，成立，不成立，输出，故选C（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （A）60件 (B)80件 （C）100件 （D）120件第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）在中，若，则 .【答案】【解析】：由正弦定理得又所以（10）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则 . 【答案】2【解析】：由得渐近线的方程为即，由一条渐近线的方程为得2（11）已知向量。若与，共线，则= . 【答案】1【解析】：由与共线得（12）在等比数列中，若则公比 ； 【答案】2 【解析】：由是等比数列得，又 所以（13）已知函数 ,若关于的方程 有两个不同的实根，则实数的取值范围是 . 【答案】（0，1）【解析】单调递减且值域为(0,1，单调递增且值域为，有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。（14）设R)。记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则 ； 的所有可能取值为 。 【答案】6 6，7，8，【解析】：在, , 时分别对应点为6,8 ,7。在平面直角坐标系中画出平行四边形，其中位于原点，位于正半轴；设与边的交点为 ，与 边的交点为，四边形内部（不包括边界）的整点都在线段上，线段上的整点有3个或4个，所以，不难求得点，当为型整数时，都是整点，当为型整数时，都不是整点， 当为型整数时，都不是整点， （以上表述中为整数）上面3种情形涵概了的所有整数取值，所以的值域为6，7，8 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数（）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值。【解析】：（）因为所以的最小正周期为（）因为于是，当时，取得最大值2；当取得最小值1（16）（本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.（）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率。（注：方差其中为，的平均数） 【解析】：（）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为（17）（本小题共14分） 如图，在四面体中，点分别是棱的中点。（）求证：平面；（）求证：四边形为矩形；（ ）是否存在点，到四面体六条棱的中点 的距离相等？说明理由。【解析】：证明：（）因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE/PC。又因为DE平面BCP，所以DE/平面BCP。（）因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE/PC/FG，DG/AB/EF。所以四边形DEFG为平行四边形，又因为PCAB，所以DEDG，所以四边形DEFG为矩形。（）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点由（）知，DFEG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。与（）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，且QM=QN=EG，所以Q为满足条件的点.（18）（本小题共13分） 已知函数。（）求的单调区间；（）求在区间上的最小值。【解析】：（）令，得与的情况如下：x（）（0+所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是（）当，即时，函数在0，1上单调递增，所以（x）在区间0，1上的最小值为当时，由（）知上单调递减，在上单调递增，所以在区间0，1上的最小值为；当时，函数在0，1上单调递减，所以在区间0，1上的最小值为（19）（本小题共14分） 已知椭圆的离心率为，右焦点为。斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为。（）求椭圆的方程；（）求的面积。【解析】：（）由已知得解得又所以椭圆G的方程为（）设直线l的方程为由得设A、B的坐标分别为AB中点为E，则因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB.所以PE的斜