高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 同角三角函数的基本关系 互余对偶＂＂灵动＂的运算技巧素材 北师大版必修4_第1页
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互余对偶“灵动”的构造技巧数学中的对偶法就是指在数学解题过程中，合理地构造形式相似、具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，达到解决数学问题的目的在数学解题的过程中，恰当地使用对偶法，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果三角中的正弦与余弦是两个对称元素，它们具有如下恒等关系式：；如此，利用互余函数构造对偶式、借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答下面我们通过实例来介绍构造对偶关系式以及如何对所构造的对偶关系式进行合理的运算处理1构造对偶式求积例1求的值解：令， 构造对偶式又 点评：这个对偶式构造得好！它的到来一下子使问题冰消雪融了解法自然、朴素，过程简洁，运算轻松！例2求的值解：令构造对偶式则 点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题之目的2构造对偶式求和例3求的值解： 构造对偶式 则 点评：灵活地选取解题方法，对其构造了“意想不到”的对偶式，最后借助简单的三角公式完成了解答，充分体现了解题机智 3构造对偶式化简求值例4求的值解：令构造对偶式，则 点评：这是一道比较典型的三角求值题通过对题目结构特征的观察，由目标导向，构造对偶式，从而独辟蹊径，出奇制胜这类试题在各类考试中深受命题者青睐：变题1求的值变题2求的值变题3求的值变题4求的值4构造对偶式求范围例5若，求的取值范围解： 令 则 得 由，点评：利用现成的对偶式、假借三角公式，使问题本身变得简单、便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！例6若，求的范围解： 令 则两式平方和则，由可知：，于是5构造对偶式求同角的三角函数值例7若，且，求的值解法一：构造对偶式，则 再由，得代入后两式相除可得 解法二：构造对偶式，则， ，再由，得 点评：这种构造法灵巧、富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力6构造对偶式解方程例8已知，解方程解：若令构造对偶式，则 +，得，又 或或又，或或点评：通过构造对偶式，创设了这一美妙而又能打开局面的有利条件，可谓“高招”！“明月松间照，清泉石上流”，好一幅绝妙的对偶，让人感到美不胜收在数学解题过程中，如果我们能恰当地运用对偶关系，不仅能提高解题速度，同样也会给人带来美的享受它别开生面、独具“风味”，能在纷繁的困惑中求得简捷的解法，给人一种赏心悦目的感觉
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