2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（上海卷含答案）

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（上海卷）一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式的值为 。2.双曲线的渐近线方程为 。3.在（1+x）7的二项展开式中，x项的系数为 。（结果用数值表示）4.设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则a= 。5.已知复数z满足（i是虚数单位），则z= 。6.记等差数列的前几项和为Sn，若，则S7= 。7.已知，若幂函数为奇函数，且在上速减，则=_8.在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且|=2，则的最小值为_9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_（结果用最简分数表示）10.设等比数列an的通项公式为an=q+1（nN*），前n项和为Sn。若，则q=_11.已知常数a0，函数的图像经过点、，若，则a=_12.已知实数x、x、y、y满足：，则+的最大值为_二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设P是椭圆+=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A）22 （B）23 （C）25 （D）4214.已知，则“”是“”的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件15.九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ） （A）4 （B）8 （C）12 （D）1616.设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ） （A） （B） （C） （D）0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA，OB是底面半径，且AOB=90，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数，函数（1）若为偶函数，求a的值；（2）若，求方程在区间上的解。19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均勇士，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1） 当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2） 求该地上班族S的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义。20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设常数t2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线：，l与x轴交于点A，与交于点B，P、Q分别是曲线与线段AB上的动点。（1） 用t为表示点B到点F的距离；（2） 设t=3，线段OQ的中点在直线FP上，求AQP的面积；（3） 设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)给定无穷数列an，若无穷数列bn满足：对任意，都有，则称 “接近”。（1） 设an是首项为1，公比为12的等比数列，判断数列是否与接近，并说明理由；（2） 设数列an的前四项为：a=1，a =2，a =4，a4=8，bn是一个与an接近的数列，记集合M=x|x=bi，i=1,2,3,4,求M中元素的个数m；（3） 已知an是公差为d的等差数列，若存在数列bn满足：bn与an接近，且在b-b，b-b，b201-b200中至少有100个为正数，求d的取值范围。答案解析一、填空题1.（2020上海）行列式的值为 。【答案】18【解析】【解答】=45-21=18【分析】=ad-bc交叉相乘再相减。【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2020年高考数学真题试卷（上海卷）2.（2020上海）双曲线的渐近线方程为 。【答案】【解析】【解答】，a=2，b=1。故渐近线方程为【分析】渐近线方程公式。注意易错点焦点在x轴上，渐近线直线方程为时，。【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2020年高考数学真题试卷（上海卷）3.（2020上海）在（1+x）7的二项展开式中，x项的系数为 。（结果用数值表示）【答案】21【解析】【解答】（1+x）7中有Tr+1=，故当r=2时，=21【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。考点公式第r+1项为Tr+1=。【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2020年高考数学真题试卷（上海卷）4.（2020上海）设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则a= 。【答案】7【解析】【解答】的反函数的图像经过点，故过点，则，=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7.【分析】原函数与反函数图像关于y=x对称，如：原函数上任意点，则反函数上点为【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2020年高考数学真题试卷（上海卷）5.（2020上海）已知复数z满足（i是虚数单位），则z= 。【答案】5【解析】【解答】故根据复数模长公式=5【分析】复数转化关系公式，共轭复数去点模长公式【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2020年高考数学真题试卷（上海卷）6.（2020上海）记等差数列的前n项和为Sn，若，则S7= 。【答案】14【解析】【解答】a3=a1+2d=0a6+a7=a1+5d+a1+6d=14故，故故S7=72-57=14。【分析】等差数列的通项公式，等差数列前n项和公式Sn=，求出a1，d。【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2020年高考数学真题试卷（上海卷）7.（2020上海）已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_【答案】-1【解析】【解答】a=-2时，=x-2为偶函数，错误a=-1时，=x-1为奇函数，在上递减，正确a=-时，=非奇非偶函数，错误a=时，=非奇非偶函数，错误a=1时，=x在上递增，错误a=2时，=x2在上递增，错误a=3时，=x3在上递增，错误【分析】关于幂函数性质的考查，在第一项限a0时，a0为偶数，则为偶，若a为奇数，为奇。【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2020年高考数学真题试卷（上海卷）8.（2020上海）在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且|=2，则的最小值为_【答案】-3【解析】【解答】设E(0，y1)，F(0，y2)，又A（-1，0），B（2，0），所以=(1，y1)，=(-2，y2)=y1 y2-2 又|=2，故（y1-y2）2=4又，当时等号不成立。故假设代入，=【分析】本题主要考查向量坐标运算，基本不等式的运用，点与向量坐标互化。【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2020年高考数学真题试卷（上海卷）9.（2020上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_（结果用最简分数表示）【答案】【解析】【解答】根据古典概率公式【分析】五个砝码，从中随机选取三个为，三个砝码的总质量为9克，可种情况有5，3，1和5，2，2【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2020年高考数学真题试卷（上海卷）10.（2020上海）设等比数列的通项公式为an=qn-1（nN*），前n项和为Sn。若，则q=_【答案】3【解析】【解答】，又=1故当|q|1时，有当|q|0，函数的图像经过点、，若，则=_【答案】6【解析】【解答】，故=1，又，所以。所以=36，=6（0）【分析】函数赋值，分式，指数化简【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2020年高考数学真题试卷（上海卷）12.（2020上海）已知实数x、x、y、y满足：，则+的最大值为_【答案】【解析】【解答】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故有x2+y2=1，使A，B在圆上，又x1x2+y1y2=，得出，故，构造直线x+y-1=0，故变为A、B两点到直线x+y-1=0距离和最大值。特殊位置取最值，当AB平行l直线时取最值，又三角形ABO为等边三角形，故，又，故最大值为。【分析】运用构造法，极端假设法解答即可。【题型】填空题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2020年高考数学真题试卷（上海卷）二、选择题13.（2020上海）设P是椭圆+=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A.2B.2C.2D.4【答案】C【解析】【解答】，故，故答案为：C【分析】椭圆定义【题型】单选题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2020年高考数学真题试卷（上海卷）14.（2020上海）已知，则“”是“1”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【解答】，所以或40(30x0，(x-45)(x-20)0，故x45或xx45，即45x2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线：，l与x轴交于点A，与交于点B，P、Q分别是曲线与线段AB上的动点。(1)用t表示点B到点F的距离；【答案】由题意可知如图故设(2)设t=3，线段OQ的中点在直线FP上，求AQP的面积；【答案】由题中几何关系可知，又M为OQ中点，故。又由几何关系可知t=3，有，则故又QO直线斜率，PFOQ，则PF直线斜率K2=-则，联立曲线可知，即。(3)设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。【答案】存在；假设存在，则设Et=8时，P，其中m0，4；Q(8，n)，其中n0，8；且s0，4，则在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ中，即又n0，8，解得m（0，2）故=（6，n）=得到方程组：，解得（舍）或，故所以；当时，以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，并有点E在上。【解析】【分析】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆问题，涉及的是点到点的距离公式，运用公式解答即可；涉及面积最值问题，面积问题往往需要进行等效转换，转换为弦长或者点到直线距离问题，是作为距离的问题的加深；考查存在性问题，存在性问题往往涉及到运动问题，对于运动问题应当注意抓住变量。【题型】综合题【考查类型】中考真题【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2020年高考数学真题试卷（上海卷）21.（2020上海）给定无穷数列，若无穷数列bn满足：对任意，都有，则称“接近”。(1)设是首项为1，公比为的等比数列，判断数列是否与接近，并说明理由；【答案】由题意又，故则又，故即，故(2)设数列的前四项为：=1，=2，=4，=8，bn是一个与接近的数列，记集合M=x|x=bi，i=1，2，3，4，求M中元素的个数m；【答案】由题意分析可知根据范围分析，根据元素互异性，又可能出现情况，也可能出现情况，故根据互异性，M中元素个数为3个或4个(3)已知是公差为d的等差数列，若存在