2020年江苏省南通市高三数学考前40题 苏教版

20202020 年江苏省南通市高三数学考前年江苏省南通市高三数学考前 4040 题题 一、选择题 1已知奇函数的定义域为，且对任意正实数，恒有)(xf), 0() 0 , ()( 2121 xxxx、 ，则一定有（ D ） 0 )()( 21 21 xx xfxf A B 3 1 2 (cos600 )(log2)ff 3 1 2 (cos600 )( log2)ff - C D 3 1 2 ( cos600 )(log2)ff- 3 1 2 ( cos600 )( log2)ff- - 说明：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性的综合应用及三角函数的诱导公式与对数运算 2若 f(n)为 n21(nN*）的各位数字之和，如 1421197，19717，则 f(14)17；记 f1(n)f(n)，f2(n)f(f1(n)，fk1(n)f(fk(n)，kN*，则 f2020(8) （ A ） A11 B8 C6 D5 说明：本题考查周期数列及学生的阅读理解能力 3在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数） ，它表示的整数部分， xx 即是不超过的最大整数例如：设函数，xx22,3.13, 2.63 21 ( ) 122 x x f x 则函数的值域为 （ ） ( ) ()yf xfx A B C D 01,01,0,12,0 4 已知数列是首项为，公差为的等差数列，若数列是等比数列， n a 1 a(02 )ddcos n a 则其公比为（ ） . A1.B1.C1.D2 分析：本题考查三角函数的图象与性质、等差数列与等比数列的概念等基本知识 答案： 提示：利用余弦曲线可得.B 1 cos 1 n a 5一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为 1 的正三角形，曲线分别以ABC 11223 CAA AA A、 为圆心，为半径画的弧，曲线称为ABC、 12 ACBACA、 123 CA A A 螺旋线，然后又以为圆心，为半径画弧，这样画到第圈，A 3 AAn 则所得螺旋线的总长度为 112233231313 , nnnn CA A A A AAAAA n S A B (31)nn (1) 3 n n C D 2 (31)n(1)n n 分析：第圈的长度分三段第一段以点为圆心，半径为；第二段以点为圆心，nA32nB 半径为；第三段以点为圆心，半径为，所以第圈的长度31nC3nn ，所以 2 (3231 3 ) 3 n lnnn 2 (1233 ) 3 n Sn 答案：A 说明：培养学生的阅读能力 6已知O是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 则P点的轨迹一定通过的（ ）)(),0, sinsin ABAC OPOA ABBACC ll=+ uu u ruuu r uu u ruur uu u ruuu rABC （）重心 （B）垂心 （C）内心 （D）外心 解：因为故可设，则sinsin,ABBACC= uu u ruuu r sinsinABBACCm= uu u ruuu r （()() sinsin ABAC OPOAOAABAC ABBACC l l m =+=+ uu u ruuu r uu u ruuruuruu u ruuu r uu u ruuu r)0,) l m + 所以，其中为边的中点，所以、三点共线，AMACABAP )( 故点的轨迹经过的重心 说明：考查向量知识、正弦定理、三角形知识 7从颜色不同的 5 个球中任取 4 个球放入 3 个不同的盒子中，要求每个盒子不空，则不同的放法 总数为（ ） A120 B90 C180 D360 分析：这是一道分组分配的排列组合问题 解：180 3 3 2 4 4 5 ACC 将 4 个球放入 3 个盒子中易产生错误：而不易考虑到捆绑法 1 3 3 3 CA 说明：学生往往先取一个球然后排列出现重复的错误 8以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共 面的概率为 （ ） A B C D 367 385 376 385 192 385 18 385 解析：此问题可以分解成五个小问题： 由正方体的八个顶点可以组成个三角形； 3 8 56c 正方体八个顶点中四点共面有 12 个平面； 在上述 12 个平面中每个四边形中共面的三角形有个； 2 4 4c 从 56 个三角形中任取两个三角形共面的概率； 2 4 3 56 1218 358 c p c 从 56 个三角形中任取两个三角形不共面的概率，利用对立事件的概率的公式，得 故选 A 18367 1; 385385 P 9设、是方程的两个不相等的实数根，那么过点和点 ab 2 cotcos0 xx 2 ( ,)A a a 2 ( ,)B b b 的直线与圆的位置关系是（ ） 22 1xy A相交 B相切 C相离 D随的值变化而变化 分析：抓住原点到该直线 AB 的距离与半径 1 的大小 略解：由韦达定理得直线的斜率 cot cos ab ab ABcotkab 直线的方程是，即，从而原点到该直线的距离是AB 2 cot ()yaxa cotcosyx ， 2 |cos|1 |sin2 | 1 2 1cot d 故直线与圆相交，选 AAB 22 1xy 说明：考查三角公式、韦达定理、直线与圆的位置关系的综合 10已知双曲线的右焦点为 F，右准线为 l，一直线交双曲线于 PQ 两 22 22 1(0,0) xy ab ab 点，交 l 于 R 点则 （ ） B A.PFRQFR PFRQFR C D的大小不确定PFRQFR PFR与Q FR 解析：分别作，由相似三角形的性质，得，又由双曲线的定,ppl QQl | | pRPP QRQQ 义，故 FR 平分故选 B | | PPPF QQQF PFQ 二、填空题 11已知函数，直线与、的图像分别交于、( )sinf xx( )sin 2 g xx xm( )f x( )g xM 两点，则的最大值是 N|MN 分析：方法 1 求f(x)g(x)的最大值 方法 2 利用正弦函数与余弦函数的图象 略解： max |2MN 说明：考查三角函数的图象与性质变题：已知函数，直线( )sinf xx( )sin 2 g xx ym与、的图像分别交于、两点，则的最大值是 ( )f x( )g xMN|MN 12一个三位数称为“凹数” ，如果该三位数同时满足ab且bc，那么所有不同的三位abc “凹数”的个数是_ 分析：若从 0，1，9 这十个数字中任选三个，则最小的排在中间，其余两个在两边有 2 种排法；若从 0，1，9 这十个数字中任选两个，小的排在中间，首尾数字相同有 3 10 C 种排法，故共有 2种不同的三位数 2 10 C 3 10 C 2 10 C 解答：285 说明：本题主要考查排列组合问题，考虑问题要全面，要有一定的分析问题、解决问题的能 力 13在正四面体的一个顶点处，有一只蚂蚁每一次都以的概率从一个顶点爬到另一个顶点那么它 1 3 爬行了 4 次又回到起点的概率是 答案： 7 27 说明：考查学生运用计数原理解决等可能事件的概率问题的能力 14这是一个计算机程序操作说明： 初始值为1,1,0,0 xyzn 1nn 2xx 2yy zzxy 如果 z7000，则执行语句，否则加语句继续进行 打印, n z 程序终止 由语句打印出的数值为_，_ 解：8,7682nz 15已知直线与圆有公共点，且横坐标、纵坐标均为整数，则这样的01byax50 22 yx 直线共有 解：因为圆上有整数点（1，7） ， （1，7） ， （5，5） ， （5，5） ， （7，1） ， （7，1） ， （1，7） ， （1，7） ， （5，5） ， （5，5） ， （7，1） ， （7，1） ，由于这 12 个 点任三个点都不共线，所以直线过其中一点或两点即可，又直线不过原点，因而这样的直 线共有726 2 12 1 12 CC 说明：考查解析几何、整数点、排列组合等知识，注意三点共线特殊情况 16已知圆 C 过三点 O（0，0） ，A（3，0） ，B（0，4） ，则与圆 C 相切且与坐标轴上截距相等的切 线方程是 答案：或 043yx 75 2 22 xy+= 说明：本题考查直线与圆的位置关系，截距的概念及直线方程的分类 17过椭圆上任意一点P，作椭圆的右准线的垂线PH（H为垂足） ，并延长PH到Q，使 1 23 22 yx 得（1） 当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是 HQPH 解：设点 P 的坐标为，则点 H 为，又设点 Q 为由( 3cos ,2sin )(3,2sin )( , )x y 知，消去参数，得 Q 的轨迹方程为HQPH (3,2sin )(33cos ,0)xy ，所以其离心率的取值范围是 22 1(1) 32 xy 3 ,1 3 18从装有个球（其中个白球，1 个黑球）的口袋中取出个球，共1nnm0,mn m nN 有种取法在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，一类是 1 m n C 1 m n C m 取出的个球中白球个，则共有，即有等式：m1m 0110 1111 mmm nnn CCCCCC 成立试根据上述思想化简下列式子： 1 1 mmm nnn CCC 1122mmmkm k nknknkn CCCCCCC (1, ,)kmn k m nN 分析（1）：从已知材料中知道；， 011 111 mmm nnn C CC CC 01122 2222 mmmm nnnn C CC CC CC 从而推广到一般情形 分析（2）：根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从个球（n 个白球，k 个黑球）nk 中取出 m 个球，可分为：没有黑球，一个黑球，k 个黑球等类，故有种取1k m n k C 法 答案： m n k C 说明：回归课本，注重课本公式性质的推导过程，提炼解题方法和数学思想 19P 是双曲线左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为 2c，则 )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的内切圆的圆心横坐标为 21F PF 答案： a 说明：考查学生运用解析几何，平面几何的基本概念进行综合判断的能力 20正方体中，、分别为、的中点，为上的一点，若ABCD 1111 DCBAMN 1 AA 1 BBGBC ，则 MGNC 1 NGD1 答案： 90 说明：考查学生的空间想象力，空间线线；线面；面面垂直关系及转换能力 三、解答题 21已知函数（）是偶函数 4 ( )log (41) x f xkxkR （）求的值；k （）证明：对任意实数，函数的图像与直线最多只有一个交点；b( )yf x 1 2 yxb （）设，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数 4 4 ( )log2 3 x g xaa ( )f x( )g x 的取值范围a 分析：由于函数由不同类的两部分组成，无法进行运算，故可以考虑从函数的单调性方面进行 等价转化 略解：（）； 1 2 k （）只要证明函数在定义域上是单调函数即可； 4 1 ( )log (41) 2 x yf xxxR （）原问题等价于方程有且只有一个实数根 14 22 23 xx x aa 令，则方程有且只有一个正根，故20 x t 2 4 (1)10 3 atat ，不合题意； 3 1 4 at 或：若，不合题意；若； 3 0 4 a 3 31 42 at 1 3 2 at 一个正根与一个负根，即 1 01 1 a a 综上所述，实数的取值范围是a 3(1,) 说明：考查函数的奇偶性，单调性，函数与方程及等价转化的数学思想 22已知函数， xbbaxxf 22 242 2 1axxgRba, （）当时，若在上单调递增，求的取值范围；0b xf, 2a （）求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最ba,a 0 x 0 xf xf 大值，是的最小值； 0 xg xg （）对满足（）的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且ba,2|xxD 上的函数，使当时，当时，Nkkx, 22 xh0 , 2x xfxhDx 取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列 xh 0 x 解：（）当时，0b xaxxf4 2 若，则在上单调递减，不符题意0a xxf4 xf, 2 故，要使在上单调递增，必须满足 ， 0a xf, 2 2 2 4 0 a a 1a （）若，则无最大值，故，为二次函0a xbbxf 2 242 xf0a xf 数 要使有最大值，必须满足即，且 xf 2 0, 420. a bb +- 0a5151b 此时，时，有最大值 a bb xx 2 0 24 xf 又取最小值时，依题意，有， xgaxx 0 Za a bb 2 24 则 2 22 1524bbba ，且，得，此时或0a5151bZaa50 2 1a1b 3b 满足条件的实数对是ba,3 , 1,1, 1 （）当实数对是时，ba,3 , 1,1, 1 xxxf2 2 依题意，只需构造以 2（或 2 的正整数倍）为周期的周期函数即可 如对，kkx2 , 22 0 , 22,kxNk 此时， kxkxkxfkxhxh22222 2 故 Nkkkxkxkxxh,2 , 22,222 2 23已知：函数 2 1 x f x x （I）证明：与的交点必在在直线 yx 上 f x 1 fx （II）是否存在一对反函数图象的交点不一定在直线 yx 上，若存在，请举例说明；若不存， 请说明理由 （III）研究（I）和（II） ，能否得出一般性的结论，并进行证明 分析：问题（I）易于解答，而问题（II）解答必须认真思考的性质，从性质的差异去 f x 寻求特例问题（III）的证明着眼于函数单调性的差异解答 解答：（I）与其反函数的交点坐标为（1，1） ，与yx21y x 1 2 f x 的交点必在在直线 yx 上 1 fx （II）与其反函数的交点坐标为（） ，yx 1yxx 2 10，() 15 2 15 2 ， （1，0） ， （0，1） ，原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线 yx 上 （III）研究（I）和（II）能得出：如果函数是增函数，并且的图象与其反函数f x( )f x( ) 的图象有交点，则交点一定在直线上；yx 如果函数是减函数，并且的图象与其反函数的图象有交点，f x( )f x( ) 则交点不一定在直线 yx 上 证明：设点（a，b）是的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关f x( ) 于直线 yx 对称，则点（b，a）也是的图象与其反函数图象的交点，且有f x( ) bf aaf b( )( )， 若 ab 时，交点显然在直线上yx 若 ab，且是增函数时，有，从而有 ba，矛盾；若 ba 且f x( )f bf a( )( ) 是增函数时，有，从而有 ab，矛盾f x( )f af b( )( ) 若 ab，且是减函数，有，从而 ab 成立，此时交点不在直线f x( )f bf a( )( ) yx 上；同理，ba 且是减函数时，交点也不在直线 yx 上f x( ) 综上所述，如果函数是增函数，并且的图象与其反函数的图象有交点，则交点f x( )f x( ) 一定在直线上；yx 如果函数是减函数，并且的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直f x( )f x( ) 线 yx 上 说明：试题紧扣江苏新考纲，突显解决问题的探索性和研究性试题难度较大 24已知，且三次方程有三个实根, ,a b cR( )f x 32 0 xaxbxc 123 ,x x x （1）类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系； （2）若均大于零，试证明：都大于零；, ,a b c 123 ,x x x （3）若，在处取得极值且，试求此方,| 2aZ bZb且( )f x,xx101 程三个根两两不等时的取值范围c 分析：（1）联想二次方程根与系数关系，写出三次方程的根与系数 （2）利用（1）的结论进 行证明；（3）三次函数的问题往往都转化为二次方程来研究 解：（1）由已知，得，比较两边系数，得 32 123 ()()()xaxbxcxxxxxx 12312233 1123 ,axxx bx xx xx x cx x x （2）由，得三数中或全为正数或一正二负0c 123 ,x x x 若为一正二负，不妨设由，得， 123 0,0,0.xxx 123 0 xxxa 123 ()xxx 则 2 12323 ()()x xxxx 又，这与 2 12233 1123232323 ()()bx xx xx xx xxx xxxx x 22 2233 0 xx xx 矛盾，所以全为正数 0b 123 ,x x x （3）令，要有三个不等的实数根，则函数有一个极 32 ( )f xxaxbxc( )0f x ( )f x 大值和一个极小值，且极大值大于 0，极小值小于 0 由已知，得有两个不等的实根， 2 ( )320fxxaxb, ，由（1） （3） ，得101 320(1) 0(2) 320(3) ab b ab 3b 又，将代入（1） （3） ，得| 2,0bb1b 1b 0a ，则，且在处取得极大值，在 2 ( )31fxx 33 , 33 ( )f x 3 3 x 处取得极小值， 3 3 x 故要有三个不等的实数根，则必须得( )0f x 3 ()0 3 3 ()0. 3 f f ， 2 32 3 99 c 说明：本题考查学生类比 探究 函数与方程与图形的转化的能力 25已知函数f(x)定义域为0，1，且同时满足 （1）对于任意x0，1，且同时满足； （2）f(1)4； （3）若x10，x20，x1x21，则有 f(x1x2)f(x1)f(x2)3 （）试求f(0)的值； （）试求函数f(x)的最大值； （）设数列an的前n项和为 Sn，满足a11，Sn(an3)，nN* 2 1 求证：f(a1)f(a2)f(an) log3 2 3 2 27 n a 分析分析：（）令xy0 赋值法和不等号的性质求f(0)的值；（）证明函数f(x)在0，1 上的单调性求f(x)的最大值；（）先根据条件求数列an的通项公式，利用条件f(x1x2) f(x1)f(x2)3 放大f()，再利用求和的方法将f(a1)f(a2)f(an)放大，证 1 3 1 n 明不等式成立 解答解答：（）令x1x20，则有f(0)2f(0)3，即f(0)3 又对任意x0，1，总有f(x)3，所以f(0)3 （）任取x1，x20，1，x1 - 且 说明：以导数为载体，考查函数图象的对称性，及方程思想 30已知在数列中， n a nnnn aaqaaa 212, 1221 , 1 (),0d q dR q+ （1）若求并猜测；, 1, 2dq 43,a a 2006 a （2）若是等比数列，且是等差数列，求满足的条件 12 n a n a2dq, 解：（1）猜测, 22, 11, 2, 1 342321 aaaaaa2 2006 a （2）由，得 nnnn aaqaa 212, 122 (),0d q dR q+dqaa nn 1212 当时，显然，是等比数列0d 1212 nn qaa 12 n a 当时，因为只有时，才是等比数列0d, 1 1 a1 12 n a 12 n a 由，得即，或dqaa nn 1212 , 1 dq0, 0qd1qd+= 由得daaqaa nnnn 2212, 122 )2( 222 nqdqaa nn 当，显然是等差数列，当时，)2(, 1 222 ndaaq nn n a21qqqaa 12 只有时，才是等差数列qa n 2 n a2 由，得即)( 222 daqa nn , 1 dq1, 1dqq 综上所述：1qd+= 说明：考查等差数列、等比数列两个基本数列知识，考查猜测、讨论等思想方法 31 （改编题，白蒲中学高之祥提供） 有以下真命题：设，是公差为的等差数列中的任意个项，若 1 n a 2 n a m n ad n am （，、或），则有 m r p m nnn m 21 mr 0prNm0r ，特别地，当时，称为，的等d m r a m aaa p nnn m 21 0r p a 1 n a 2 n a m n a 差平均项 （1）当，时，试写出与上述命题中的（1） ， （2）两式相对应的等式；2m0r （2）已知等差数列的通项公式为，试根据上述命题求，的等 n anan2 1 a 3 a 10 a 18 a 差平均项； （3）试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题 解：（1）若，则p nn 2 21 p nn a aa 2 21 （2），nan236,20, 6, 2 181031 aaaa ，8 4 181031 16 4 8 181031 a aaaa （3）有以下真命题：设，是公比为的等比数列中的任意个项，若 1 n a 2 n a m n aq n am （，、或，则有 m r p m nnn m 21 mr 0prNm0r ，特别地，当时，称为，的等比 m r pnnn qaaaam m 21 0r p a 1 n a 2 n a m n a 平均项 32设数列满足 2 ( , )( ,2 ) p n f n pCn pN pn ( , ) n p a (1, )(2, )( , ) ( , ) ppn p aaaf n p （1）求证：是等差数列； ( ,2) n a （2）求证： 21 2 1 ( ,1)( ,2)( , )21; 2 nn n f nf nf n nC （3）设函数，试比较与 22 ( )( ,1)( ,2)( ,2 ) n H xf nxf nxf nnx( )( )H xH a 的大小 21 2 (1)() n naxa 解：（1）由 (1, )(2, )( , ) ( , ) ppn p aaaf n p ，令 ，得2p ，（） (1,2)(2,2)( ,2) ( ,2) n aaaf n (1,2)(2,2)(1,2) (1,2) n aaaf n 2n 两式相减，得且时也成立 22 22(1) ( ,2) nn a nCC 43,n1n 所以，即是等差数列 (1,2)( ,2) 4 nn aa ( ,2) n a （2）设， 12 222 ( ,1)( ,2)( , ) n nnn f nf nf n nCCCS 而，又 01222 2222 2 nn nnnn CCCC 211222 222222 , nnnn nnnnnn CCCCCC 所以 221 22 1 222 ,21 2 nnnn nn SCSC (3) 22 ( )( ,1)( ,2)( ,2 )(1)1, nn H xf nxf nxf nnxx 所以 22 ( )( )(1)(1) nn H xH axa 为了比较与的大小，( )( )H xH a 21 2 (1)() n naxa 即要判断的符号 2221 (1)(1)2 (1)() nnn xanaxa A 设，则上式即为，设1,1Xx Aa 221 2() nnn XAnAXA 2221 ()2() nnn F XxAnAXA 其导数为 21212121 ( )222 () nnnn F xnXnAn XA 当时，是增函数，所以，且当时等号成立XA ( ) 0,()F xF X( )( )F xF AXA 当时， 是减函数，所以XA ( ) 0,()F xF X( )( )F xF A 纵上所述，当且仅当时等号成立 21 ( )( )2 (1)() n H xH anaxa xa 说明：这是以组合数为背影，将数列 组合 数求和 不等式的证明 导数等知识有机结合起来 的问题，要求学生具有对数学符号的感悟能力，数学表达式的变换能力，数学结构的联想能 力以及变形转化 换元转化 分类讨论等数学方法和数学思想 33已知（1，2sinx）（cos2x，cosx）设函数 f（x）ab3ab （1）若 x，求 f（x）的最大值、最小值并求出对应的 x 值； 0 , （2）求 f（x）在区间的递减区间 0 , 分析：（1）利用三角公式化简表达式，求最值时注意定义域 （2）简单的复合函数的单调区间的求法 解：（1）f（x）cosx2sinxcosxcosxsin2x2cos（2x） 33 6 2 12 7 6 2 2)( 12 0 6 2 66 2 6 0 min max ）（时时，即当 时时，即当 xfxx xfxx x x （2），）（zkkxk 2 6 22 12 7 0 12 0 12 7 12 13 1 12 5 12 0 12 5 12 ，和，的递减区间是，）在区间（ ， ， ）（ xf xk xk zkkxk 说明：近两年江苏试题没有向量与三角的解答题，而其它省市多以这样的题目作为解答题的第 1 题，而三角公式、函数的图象及性质也是命题重点，因这样的目的出此题 34已知一列非零向量满足：(x1，y1)，(xn，yn)（n2） n a 1 a n a 1111 1 (,) 2 nnnn xyxy （1）证明：|是等比数列； n a （2）求向量与的夹角（n2） 1n a n a （3）设(1，2)，将，中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列， 1 a 1 a 2 a n a 1 a 记为，令，O 为坐标原点，求 Bn 1 b 2 b n b 12nn OBbbb 证明：（1）， 22 1111 1 |()() 2 nnnnn axyxy 22 111 | 22 nnn xya 即 ，且 1 | 2| n n a a 22 111 0axy （2）， 1n a n a 111111 1 (,)(,) 2 nnnnnn xyxyxy 2222 111 11 ()| 22 nnn xya ， 2 1 1 1 |1 cos(,) 22| | n nn nn a aa aa 1 (,) 4 nn aa 与的夹角为 1n a n a 4 （3）由（2）可知相邻两向量夹角为，而，所以每相隔 3 个向量的两个向量必 4 4 4 共线，且方向相反，所以与向量共线的向量为， 1 a 1 a 5 a 9 a 13 a ， 1 b 2 b 3 b 4 b 11 43 111 11 ()( ,)()(1,2) 44 nn n n baax y 设 OBn(tn，sn) 则 21 111 1()()() 444 n n t 1 1() 41 4 1() 1 54 1() 4 n n 同理 81 1() 54 n n S 4181 ( 1() , 1() ) 5454 nn n B 35在直角坐标平面上，O 为原点，N 为动点，6，过点 M 作 MM1y 轴于ON 5 1 OMON M1，过 N 作 NN1x 轴于点 N1，记点 T 的轨迹为曲线 COTMM1NN1 （）求曲线 C 的方程； （）已知直线 L 与双曲线 C1：5x2y236 的右支相交于 P、Q 两点（其中点 P 在第一象限） ， 线段 OP 交轨迹 C 于 A，若3，SPAQ26tanPAQ，求直线 L 的方程OPOA 解：（）设 T（x，y） ，点 N（x1，y1） ，则 N1（x1，0） 又（x1，y1） ， 5 1 OMON 5 1 5 1 M1（0，y1） ，（x1，0） ，（0，y1） 5 1 MM1 5 1 NN1 于是（x1，y1） ，即（x，y）（x1，y1） OTMM1NN1 5 1 5 1 代入6，得 5x2y236 yy xx 1 1 5 ON 所求曲线 C 的轨迹方程为 5x2y236 （II）设由及在第一象限得( , ),A m n3OPOA P(3 ,3 ),0,0.Pmn mn 解得 12 ,Ac Pc 2222 536,54,mnmn2,4,mn 即 (2,4), (6,12).AP 设则 ( , ),Q x y 22 536.xy 由得26tan,SPAQ ， 1 sin26tan 2 APAQPAQPAQ ，即52AP AQ (4,8) (2,4)52,230.xyxy 联立， ，解得或 51, 19 3 , 19 x y 3, 3. x y 因点在双曲线 C1的右支，故点的坐标为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 QQ(3, 3) 由得直线 的方程为即(6,12),P(3, 3)Ql 33 , 12363 yx 5180.xy 36 （自编题，西亭中学朱振新提供） 设椭圆：的左、右焦点分别为，已知椭圆上的任意一点，E 22 22 1(0) xy ab ab 12 ,F FEP 满足，过作垂直于椭圆长轴的弦长为 3 2 12 1 2 PF PFa 1 F （1）求椭圆的方程；E （2）若过的直线交椭圆于两点，求的取值范围 1 F,A B 22 F A F B 分析：本小题主要考查椭圆的方程、几何性质，平面向量的数量积的坐标运算，直线与圆锥 曲线的位置关系等基本知识及推理能力和运算能力 解：（1）设点，则，P 00 (,)xy 100200 (,),(,)PFcxyPFcxy ， 2 222222 12000 2 c PF PFxcyxbc a 222 120 1 ,0 2 PF PFaxa ，又， 222 1 ,2 2 bcaac 2222 22 3 1, 2 cybb y abaa ，椭圆的方程为： 22 4,3ab 22 1 43 xy y x o P Q A L （2）当过直线的斜率不存在时，点，则； 1 FAB 33 ( 1, ), ( 1,) 22 AB 22 1 2 F A F B 当过直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，设 1 FABkAB(1)yk x 1122 ( ,), (,)A x yB xy 由 得： 22 (1) 1 43 yk x xy 2222 (43)84120kxk xk 22 1212 22 8412 , 4343 kk xxxx kk 2 2212121212 222 1212 2 22 2 22 (1)(1)(1)(1)(1)(1) (1)(1)()(1) 79757 4344(43) 7 0,3 4 F A F Bxxy yxxkxx kx xkxxk k kk kF A F B 综合以上情形，得： 22 7 3 4 F A F B 说明：本题是椭圆知识与平面向量相结合的综合问题，是考试大纲所强调考查的问题，应 熟练掌握其解题技巧以平面向量的数量积运算为基础，充分利用椭圆的几何性质，利用待定 系数法求椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系等，是高考的热点问题，几乎每年必考 37已知椭圆 C 的方程为，双曲线的两条渐近线为，过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 22 22 1 xy ab 12 ,l l C 的右焦点 F 作直线，使，又 与交于 P，l 1 lll 2 l 设 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为 A、B（如图） l （1）当与的夹角为，且POF 的面积为时，求椭圆 C 的方程； 1 l 2 l60 3 2 （2）当时，求的最大值FAAP 分析：（1)求椭圆方程即求、根据题中的两个数量关系：与的夹角为，POFab 1 l 2 l60 的面积为，列出关于、的两个方程即可 3 2 ab （2）由 P、F 的坐标求出 A 点的坐标，代入椭圆方程可得与、c 的关系，进而得出 ab 与离心率 e 的关系 解：（1）的斜率为，的斜率为，由与的夹角为，得 1 l b a 2 l b a 1 l 2 l60 2 3 1( ) bb aa b a 整理，得 3ab 由得由，得 , (). b yx a a yxc b 2 (,) aab P cc 3 2 POF S 13 22 ab c c 3ab 由，解得， 椭圆 C 方程为：3a 1b 2 2 1 3 x y （2）由，及，得 2 (,) aab P cc ( ,0)F cFAAP 2 (,) 11 aab c cc A 将 A 点坐标代入椭圆方程，得 2 22 22 ()() 1 (1)(1) aab c cc 整理，得， 22 22 22 (1)2 (2)332 2 22 ee e ee 的最大值为，此时2122e 说明：本题考查综合运用解析几何知识解决问题的能力，重点考查在圆锥曲线中解决问题的 基本方法，转化能力，以及字母运算的能力 38已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，实轴长为 2一条斜率为 的直线l过右焦点1 F与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆与右准线交于M，N两点 （1）若双曲线的离心率为，求圆的半径；2 （2）设AB的中点为H，若，求双曲线的方程 16 3 HM HN A 分析分析：（1）求圆的半径可用直线上的两点间的距离公式 （2）这一条件的 16 3 HM HN A 应用若用坐标表示则较繁，可使用定义 解答解答：（1）设所求方程为 22 22 1 xy ab 由已知 2a2，a1，又 e2，c2 c a 双曲线方程为右焦点F(2，0)，L；yx2，代入得 2 2 1, 3 y x 2 2 1, 3 y x 2 2470 xx 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则， 1212 7 2, 2 xxx x ， 2 1212 2 ()46ABxxx x r3 (2)设双曲线方程为 L；yx2，代入并整理得 2 2 2 1, 1 y x c 222 (2)2210cxcxc 3 12 22 1 (), 222 HHH ccc xxxyxc cc 设半径为 R， ，则,HM HN 2 16 cos 3 R ， 2 1 2 cos 2 c cc R 2 2 1 2 2 c R c 1 cos 2c ，代入得：3 2 2