2020届高三数学复习 集合与函数

2020届高三数学复习 集合与函数【教学内容】集合、函数的定义域、值域等【教学目标】 1、集合是不定义的概念，在理解集合概念的同时，必须掌握集合元素的确定性、互异性及无序性的性质，并能运用这些性质来解题。注意元素与集合之间是属于或不属于的关系，而集合与集合间是包含或不包含的关系，两者不解混淆。要熟练地进行集合的交、并、补的运算，在运算时，应首先将集合化简，如果集合中含字母时，必须对字母的取值进行讨论。集合作为一种数学工具，它与数学的其他各个分支有着密切的联系，复习时要加深对它的理解。2、函数是一种特殊的映射，在理解函数的概念时要特别注意函数的定义域为非空数集。若给出函数的解析式，求函数的定义域时我们通常从以下几个方面来考虑；（1）若有分母则分母不为零；（2）若有偶次根式，则被开方数非负；（3）若有对数式，则真数大于零且底数大于零而不等于1，求一个函数的定义域时实质上就是求由上述的不等式得到的不等式组的解集。对于反函数，由于反函数的定义域和值域分别是它原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不是由其对应法则本身确定，而应是它的原函数值域。3、对于常见的一些函数，我们应掌握其值域或最大（小）的求法。（1）配方法是求二次函数值域的基本方法，当有些化成形如二次函数的复合函数（如y=af(x)-b2+c），求值域时必须注意f(x)的取值范围。（2）函数的值域是的值域是yR且.（3）函数(px2+qx+r0)可以用判别式法来求其值域。（4）对于某些元理函数常用换元法求值域，通过变量代替达到化繁为简、化难为易的目的，其中的三角换元可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题来处理。（5）对于一些特殊的函数可利用函数的单调性来求该函数在某闭区间上的值域。（6）利用函数图象或几何方法求出函数的值域也是求值域的较常见的方法之一。【知识讲解】 例1、设集合A=a2，a+1，-3 B=a-3，2a-1，a2+1，若AB=-3，求a的值。解：若2a-1=-3，则a=-1，此时A=1，0，-3 B=-4，-3，2，满足题设条件。若a-3=-3，则a=0，此时A=0，1，-3 B=-3，-1，1此时AB=1，-3与AB=-3矛盾。综上所述，a=-1。说明：这里学生往往会出现不检验而得出a=-1或0的错误结论，在这题中限制条件隐含得较深，它并不是与集合元素的性质矛盾，而是与题设条件矛盾，这种类型的问题我们在复习时要引起高度重视。例2、已知集合A=（x，y）|B=(x，y) |y=x+m，且AB=，求实数m的取值范围。分析：该题表面上看好象是一个集合问题，但它仅仅是以集合的形式出现的，实质上是一个解析几何的问题。集合A实质上表示圆x2+y2=9在x轴上方的部分即上半个圆，而集合B实质上表示的是直线上的点，当参数m变化时，直线在平行移动，即集合B表示平行直线系，如图所示，则由图象可知，当直线与圆相切时，它在y轴上的截距为，当直线经过点c（3，0）时，m=-3，若要使得AB=，即直线与半圆无公共点，所以m-3或m。例3、已知集合A=2，3，a2+4a+2，B=0，7，a2+4a-2，2-a，且AB=3，7，求B。解：AB=3，7，a2+4a+2=7 a2+4a-5=0 a=-5或a=11当a=1时,a2+4a-2=3，2-a=1 B=0，7，3，12当a=-5时，a2+4a-2=3，2-a=7，此时在集合B中有两个元素均为7，与集合元素的互异性矛盾，舍去。综上所述，B=0，7，3，1说明：集合元素有三个性质：确定性、互异性和无序性，其中元素的互异性有着广泛的应用，若一个集合是以列举法给出的，则所给元素应是互异的。在复习过程中我们要加深对这一性质的理解。例4、设集合A=x|x2-3x+2=0 B=x|x2-ax+2=0若AB=A，求a的值构成的集合。解：由x2-3x+2=0 知 x=1或2，A=1，2，又AB=A 1若，则=a2-80 2若B中仅仅含有一个元素，则=a2-8=0，而时，即 舍去，当时，此时 舍去。3若B中含有两个元素，即B=A，此时a=3综上所述a的值组成的集合为，或a=3说明：由条件AB=A可得，同理当BA=B时也有的结论成立。对于上述结论我们在复习时要加以重视。另外，当A为有限集且B为A的子集时，我们首先应考虑这一情形，对于这种情形，学生在学习时往往容易疏忽。例5、若集合A=a1，a2，a3，B=b1，b2 求从集合A到集合B的映射的个数。分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A、B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f，若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。对于本例，集合A=a1，a2，a3中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形，由乘法原理可知，A到B的映射的个数共有N=222=8个。例6、线段|BC|=4，BC的中点为M，点A与B、C两点的距离之和为6，设|AM|=y，|AB|=x，求y=f(x)的函数表达式及这函数的定义域。解：1若A、B、C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，x2=22+y2-4ycosAMB (6-x)2=22+y2-4ycos(180-AMB) + x2+(6-x)2=2y2+8 y2=x2-6x+14又 x2-6x+14=(x-3)2+5恒正，又三点A、B、C能构成三角形 x+(6-x)4 x+46-x 1x5 4+(6-x)x 2若三点A、B、C共线，由题意可知，x+4=6-x，x=1 或4+6-x=x x=5综上所述： 说明：第一，首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上，因为由题意，A、B、C不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。第二，实际问题求解析式时要特别注意函数的定义域。例7、求下列函数的定义域（1） （2）解：（1）x2-3x-40 x-1或x4 |x+1|-20 x1且x-3x4或x-1且x3，即函数的定义域为(-，-3)(-3，-14，+）（2），则 0x2-3x-108，即x2-3X-108-3x6x2-3x-100x-2或x5-3x-2或5x6即定义域为-3，-2）（5，6说明：求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面来考虑：若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式，则真数大于零、底数大于零且不等于1。求函数的定义域，实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。例8、已知函数f(x)的定义域为-1，4），求的定义域。解：，则又 ，或则或即为所求的函数的定义域。说明：此题实质上是求复合函数的定义域，我们把看成是由y=f(u)、两个函数复合而成的，因为-1u4，则，从而求出x的范围，另外，对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同号，取倒数后不等号的方向改变，这里也是学习时常常容易发生错误的地方，应加以重视。例9、若对于任何实数x,不等式：恒成立,求实数a的取值范围。解：令f(x)=|x-1|+2|x-2|，去绝对值于把f(x)表示成分成段函数后为 5-3x x1 f(x)= 3-x 1x2 3x-5 x2作出y=f(x)的图象如图，由此可知f(x)的最小值为1，f(x)a对一切实数x恒成立，则a1。说明：该题看上去是一个不等式的问题，若用取绝对值于分类讨论的方法来求解则比较繁锁，而如果注意到不等于左边是一个关于x的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题，这种解题思想应引起我们的注意。另外，对于函数f(x)=|x-1|+2|x-2|只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图象，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间，值域等一切问题都可以迎刃而解了。例10、求函数的值域。解： 2(x-1)2+1101 05即原函数的值域为（0，5或： y= 2yx2-4yx+3y-5=0显然 y0，xR， =16y2-24y2+40y=40y-8y20又y0 0y5，即值域为（0，5说明：对于函数求值域时我们可以通过观察法，结合基本函数的值域求得。对于形如或的函数，我们可以利用判别式法求出这类函数的值域。例11、求函数的值域。解：令，则13-4x=t2 该二次函数的对称轴为t=1，又t0由二次函数的性质可知y4，当且仅当t=1即x=3时等式成立，原函数的值域为（-，4。说明：对于所有形如的函数，求值域时我们可以用换元法令转化为关于t的二次函数在区间0，+）上的最值来处理。这里要注意t0的范围不能少。如：已知f(x)的值域为，试求函数的值域。该题我们只需要把f(x)看成是一个变量，则求值域时仍可用上述换元法，但是如果被开方数不是关于x的一次式，而含x的平方项，则就不能用上述换元法了。如求函数的值域，若令，则x无法用t来表示。这里我们如果注意到x的取值范围：-2x2，则-11的话，我们就可以用三角换元：令 0，问题也就转化为三角函数求最值了。同样我们作三角换元时，要注意的限制条件，因为当取遍0到之间的每一个值时，恰好可以取遍-1到1之间的每一个值，若不限制的范围，则根号无法直接去掉，就会给我们解题增添麻烦。例12、求下列函数的最值。（1） （2）解：（1）先求出函数的定义域： x+20 7-x0-2x7，又在区间-2，7上函数单调递增，单调递增，所以在定义域内也单调递增。当x=-2时，；当x=7时，（2）0 y2=x2(1-x2)由基本的等式可知：y2=x2(1-x2),又y0 ，。说明：对于一些比较复杂的函数，求值域或最值时，如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式，问题往往会很快得到解决。在运用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”的条件，特别是要注意等号能否成立。例13、设a0，x-1，1时函数y=-x2-ax-b有最小值-1，最大值1，求使函数取得最小值和最大值时相应的x的值。解：a0， 0，又定义域为-1，1x=1时，即-1-a+b=-1 a-b=0下面分a的情形来讨论：1当0-1即0a2时，当时，即，则 a2+4a-4=0，a=b又a(0，2 ，则2当-1，即a2时，当x=-1时-1+a+b=1，a+b=2 又a=b a=1 与a2矛盾，舍去综上所述：x=1时，时。 一选择题1、集合a、b、c的子集总共有 （ ）A、7个 B、8个 C、6个 D、5个2、集合,，则 （ ）A、M=N B、 C、 D、3、I=1，2，3，4，5，A、B都是全集I的子集，且，则以下四个命题中，真命题是 （ ）A、， B、，C、， D、，4、设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，则g(x)等于 （ ）A、2x+1 B、2x-1 C、2x-3 D、2x+75、函数的值域是 （ ）A、（-，1 B、1，+） C、（0，1 D、0，16、的值域是 （ ）A、y-2 B、y-2 C、yR D、y0二、解答题7、设A(x，y) |x|1，|y|1，B=(x，y) (x-a)2+(y-a)21，若AB，求a。8、设Ax |x|1，B=x|x2+4x+30，求集合C使其同时满足下列三个条件：（1）；（2）C有两个元素；（3）。9、（1）已知f(x)是一次函数，且ff(x)=4x-1，求f(x)的解析式； （2）已知，求f(x)的解析式； 10、求函数的定义域D。11、若函数的定义域为R，试求实数k的取值范围。12、求下列函数的定义域：（1） （2）(a0且a1)13、求下列