2020高考数学总复习 第四单元第三节导数的应用Ⅱ

导数的应用一、选择题1函数yx(2x0)的极大值为()A2 B2 C D不存在【解析】y1，令y0，得x1.当2x1时，f(x)0；当1x0时，f(x)0.f(x)极大值f(1)2.【答案】A2函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a等于()A2 B3 C4 D5【解析】f(x)3x22ax3.f(x)在x3处取得极值，则f(3)0，可得a5.【答案】D3.已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)图象如图所示，则函数f(x)的极小值是()Aabc B8a4bcC3a2b Dc【解析】观察图象，f(0)0，当x0时，f(x)0.当0x2时，f(x)0.f(x)极小值f(0)c.【答案】D4函数f(x)(exex)取极小值时，x为()A1 B1 C0 D不存在【解析】f(x)(exex)，令f(x)0，得x0.当x0时，f(x)0，f(x)为增函数；当x0时，f(x)0，f(x)为减函数x0时，函数f(x)取极小值【答案】C5三次函数当x1时有极大值4，当x3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()Ayx36x29x Byx36x29xCyx36x29x Dyx36x29x【解析】设f(x)ax3bx2cxd，则f(x)3ax22bxc.依题意，建立a、b、c、d方程组解得经检验，符合题意【答案】B6已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则()Af(x)在x1处取得极小值Bf(x)在x1处取得极大值Cf(x)是R上的增函数Df(x)是(，1)上的减函数，(1，)上的增函数【解析】由图象易知f(x)0在R上恒成立，所以f(x)在R上是增函数【答案】C7从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四个角上截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子容积的最大值是()A134 cm3 B144 cm3 C102 cm3 D98 cm3【解析】设小正方形边长为xcm，则盒子容积V(x)x(102x)(162x)4(x313x240x)(0x5)V(x)4(3x226x40)4(3x20)(x2)令V(x)0，解得x2或x.但 (0,5)，x2.极值点只有一个，可判断该点就是最大值点当x2时，V(x)最大，V(2)4(85280)144(cm)3.当截取的小正方形边长为2 cm时，盒子容积最大为144(cm)3.【答案】B二、填空题8已知实数a0，函数f(x)ax(x2)2(xR)有极大值32，则实数a的值为_【解析】令f(x)a(x2)2ax2(x2)a(x2)(3x2)0，解得x2或x.又a0，当x或x2时，f(x)0；当x2时f(x)0.x时，f(x)取极大值fa232，解得a27.【答案】279(精选考题安徽师大附中模拟)若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是_【解析】f(x)3x26b，令f(x)0，得x.若f(x)在(0,1)内有极小值，则方程正根x在(0,1)内，即0b.【答案】10直线ya与函数f(x)x33x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是_【解析】令f(x)3x230，得x1，可求得f(x)的极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，如图所示，2a2时，恰有三个不同公共点【答案】(2,2)三、解答题11已知函数f(x)x3ax2bx5.(1)若曲线f(x)在点(1，f(1)的切线斜率为3，且x时，f(x)有极值，求函数f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在4,1上的最大值和最小值【解析】(1)f(x)3x22axb，由f(1)3，f0，得解得经检验符合题意f(x)x32x24x5.(2)f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，得x2或x，f(x)、f(x)随x变化而变化，如下表.x4，2)(2)f(x)00f(x)极大值13极小值由此可知：f(x)极大值f(2)13，f(x)极小值f.又f(4)11，f(1)4，f(x)max13，f(x)min11.14(精选考题浙江高考)已知函数f(x)(xa)2(xb)(a，bR，ab)(1)当a1，b2时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点且x3x1，x3x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.【解析】(1)当a1，b2时，f(x)(x1)2(x2)，f(x)(x1)(3x5)，故f(2)1.又f(2)0，曲线yf(x)在点(2,0)处的切线方程为yx2.(2)证明：f(x)3(x