2020高考数学 函数与导数分类汇编 理

二、函数与导数（重庆理）3已知，则D A B2 C3 D6（重庆理）5下列区间中，函数在其上为增函数的是DA（- B C D（重庆理）10设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为DA-8 B8 C12 D13（浙江理）10设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）记集合，若，分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是DA=1且=0 BC=2且=2 D=2且=3（浙江理）1设函数,则实数=BA-4或-2 B-4或2 C-2或4 D-2或2（天津理）7已知则CAB CD（天津理）8对实数和，定义运算“”：设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是BA BC D（四川理）7已知是R上的奇函数，且当时，则的反函数的图像大致是7答案：A解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域.当，故选A（四川理）11已知定义在上的函数满足，当时，设在上的最大值为，且的前项和为，则A3 B C2 D11答案D解析：由题意,在上，（陕西理）3设函数满足,则的图像可能是B（陕西理）6函数f（x）=cosx在0，+）内BA没有零点B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点D有无穷多个零点（山东理）3若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为DA0 B C1 D（山东理）5对于函数,“的图象关于y轴对称”是“=是奇函数”的BA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要（山东理）9函数的图象大致是C（山东理）10已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,则函数的图象在区间0,6上与轴的交点的个数为BA6 B7 C8 D9（全国新课标理）（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是B（A） （B） （C） （D）（全国新课标理）（9）曲线，直线及轴所围成的图形的面积为C（A） （B）4 （C） （D）6（全国新课标理）（12）函数的图象与函数的图象所有交点的橫坐标之和等于D（A）2 （B）4 （C）6 （D）8（全国大纲理）2函数的反函数为BA BC D（全国大纲理）8曲线y=+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为AA B C D1（全国大纲理）9设是周期为2的奇函数，当0x1时，=，则=AA- B C D（辽宁理）（9）设函数则满足的x的取值范围是D（A），2 （B）0，2 （C）1，+） （D）0，+）（辽宁理）（11）函数的定义域为，对任意，则的解集为B（A）（，1） （B）（，+） （C）（，）（D）（，+）（江西理）4若，则的解集为C A B C D（江西理）3若，则的定义域为A A B C D（湖南理）8设直线x=t 与函数，的图像分别交于点M,N,则当达到最小时t的值为DA1 B C D（湖南理）6由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为DA B1 C D（湖北理）6已知定义在R上的奇函数和偶函数满足(0,且)若，则=BA2 B C D（湖北理）10放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：，其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克年），则M（60）=DA5太贝克 B75In2太贝克C150In2太贝克 D150太贝克（广东理）4设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是AA是偶函数B是奇函数C是偶函数D是奇函数（福建理）9对于函数f（x）=asinx+bx+c(其中，a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是DA4和6 B3和1 C2和4 D1和2（福建理）10已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：ABC一定是钝角三角形ABC可能是直角三角形ABC可能是等腰三角形ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是BA B C D（北京理）6根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是DA75，25 B75，16 C60，25 D60，16（安徽理）（3）设是定义在R上的奇函数，当A（A）3 （B）1 （C）1 （D）3（安徽理）（10）函数在区间0,1上的图像如图所示，则m，n的值可能是B（A）m=1，n=1 （B）m=1，n=2（C）m=2，n=1 （D）m=3，n=1（上海理）16下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为答AA B C D（浙江理）11若函数为偶函数，则实数 0 .（上海理）1函数的反函数为 .（上海理）14已知点和，记的中点为，取和中的一条，记其端点为，使之满足；记的中点为，取和中的一条，记其端点为，使之满足；依次下去，得到点，则 .（上海理）13设是定义在上以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 .（四川理）13计算 13解析：（四川理）16函数的定义域为A，若时总有为单函数例如，函数=2x+1（）是单函数下列命题：函数=（xR）是单函数；若为单函数，若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）16答案：解析：错，正确.（陕西理）11设若，则= 1 .（陕西理）12设,一元二次方程有正数根的充要条件是= 3或4 .（山东理）16已知函数=当2a3b4时，函数的零点 2 .（广东理）12函数在x=_处取得极小值.2（北京理）13已知函数若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_（0，1）（江苏）2函数的单调增区间是_.（江苏）8在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_.4（江苏）11已知实数，函数若，则a的值为_.（江苏）12在平面直角坐标系中，已知P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_.（江苏）19已知a，b是实数，函数和是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致（1）设，若和在区间上单调性一致,求b的取值范围；（2）设且，若和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值.19本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.满分16分.解：（1）由题意知上恒成立，因为a0，故进而上恒成立，所以因此的取值范围是（2）令若又因为，所以函数在上不是单调性一致的，因此现设；当时，因此，当时，故由题设得从而因此时等号成立，又当，从而当故当函数上单调性一致，因此的最大值为（安徽理）（16）(本小题满分12分)设，其中为正实数.（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求的取值范围.（16）（本小题满分12分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解一元二次不等式基本知识，考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力.解：对求导得 （I）当，若综合,可知+00+极大值极小值所以,是极小值点,是极大值点.（II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件a0，知在R上恒成立，因此由此并结合，知（北京理）18（本小题共13分）已知函数.（）求的单调区间；（）若对于任意的，都有，求的取值范围.（18）解：（）令，得.当k0时，的情况如下x()(,k)k+00+0所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k0时，因为，所以不会有当k0,a0过M（a，b）作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F.线段EF上异于两端点的点集记为X证明：M（a,b） X;（3）设D=（x,y）|yx-1,y（x+1）2-当点（p,q）取遍D时，求的最小值（记为）和最大值（记为）21（本小题满分14分）解：（1）切线的方程为当当 （2）的方程分别为求得的坐标，由于，故有1）先证：（）设当当（）设当注意到2）次证： （）已知利用（1）有 （）设，断言必有若不然，令Y是上线段上异于两端点的点的集合，由已证的等价式1）再由（1）得，矛盾.故必有再由等价式1），综上， （3）求得的交点而是的切点为的切线，且与轴交于，由（）线段Q1Q2，有当在（0，2）上，令由于在0，2上取得最大值故,故（湖南理）22（本小题满分13分）已知函数，.（）求函数的零点个数.并说明理由；（）设数列（）满足，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有22解：（I）由，而，的一个零点，且在（1，2）内有零点.因此至少有两个零点.解法1：记则当上单调递增，则内至多只有一个零点.又因为内有零点，所以内有且只有一个零点，记此零点为；当时，所以，当单调递减，而内无零点；当单调递减，而内无零点；当单调递增，而内至多只有一个零点.从而内至多只有一个零点.综上所述，有且只有两个零点.解法2：由，则当从而上单调递增，则内至多只有一个零点，因此内也至多只有一个零点.综上所述，有且只有两个零点. （II）记的正零点为 （1）当而由此猜测：.下面用数学归纳法证明.当显然成立.假设当时，由因此，当成立.故对任意的成立. （2）当，由（I）知，上单调递增，则，即，由此猜测：，下面用数学归纳法证明，当显然成立.假设当成立，则当时，由因此，当成立，故对任意的成立综上所述，存在常数，使得对于任意的（辽宁理）（21）（本小题满分12分）已知函数（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：(x0)021解： （I） （i）若单调增加. （ii）若且当所以单调增加，在单调减少. 4分 （II）设函数则当.故当， 8分（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由（II）得从而由（I）知， 12分（全国大纲理）22（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）（）设函数，证明：当时，；（）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为证明：22解：（I），2分 当，所以为增函数，又，因此当5分 （II）又，所以9分由（I）知：当因此在上式中，令所以（全国新课标理）（21）（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为（I）求a，b的值；（II）如果当x0，且时，求k的取值范围（21）解：（）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，（）由（）知，所以考虑函数，则(i)设，由知，当时，而，故当时，可得；当x（1，+）时，h（x）0从而当x0，且x1时，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）设0k0，故 (x）0，而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得h（x）1与0x1时，需证即,即需证 （1）设，则由x1得，所以在（1，+）上为减函数又因g（1）=0所以 当x1时 g（x）0 即（1）式成立同理0x1时，需证 （2）而由0x1得，所以在（0，1）上为增函数又因g（1）=0所以，当0x1时g（x）0,即（2）式成立综上所证，知要证不等式成立点评：抓住基本思路，去分母化简问题，不可死算（陕西理）21（本小题满分14分）设函数定义在上，导函数（）求的单调区间和最小值；（）讨论与的大小关系；（）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由21解：（）由题设易知，令得，当时，故（0,1）是的单调减区间，当时，故是的单调增区间，因此，是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为（），设，则，当时，即，当时，因此，在内单调递减，当时，即，当时，即（）满足条件的不存在证明如下：证法一 假设存在，使 对任意成立，即对任意，有，（*）但对上述，取时，有，这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在，使 对任意成立.证法二 假设存在，使对任意的成立.由（）知，的最小值为.又，而时，的值域为，时，的值域为，从而可取一个，使，即，故，与假设矛盾.不存在，使对任意成立.（陕西理）19（本小题满分12分）如图，从点P1（0,0）作x轴的垂线交于曲线y=ex于点Q1（0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，QI；P2，Q2Pn，Qn，记点的坐标为（，0）（k=1,2，n）.（）试求与的关系（2kn）；（）求.19解（）设，由得点处切线方程为由得.（），得，所以于是，（上海理）20（12分）已知函数，其中常数满足.（1）若，判断函数的单调性；（2）若，求时的取值范围.20解： 当时，任意，则 ， ，函数在上是增函数.当时，同理，函数在上是减函数.当时，则；当时，则.（四川理）22（本小题共l4分）已知函数 （I）设函数，求的单调区间与极值； （）设，解关于的方程；（）试比较与的大小22解析：（1），令所以是其极小值点，极小值为.是其极大值点，极大值为（2）；由时方程无解时方程的根为（3）则（天津理）19（本小题满分14分）已知，函数（的图像连续不断）（）求的单调区间；（）当时，证明：存在，使；（）若存在均属于区间的，且，使，证明19本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分. （I）解：， 令 当x变化时，的变化情况如下表：+0-极大值 所以，的单调递增区间是的