2020高考数学 考前冲刺第一部分专题二 填空题解题方法突破

专题二专题二 填空题解题方法突破填空题解题方法突破 【方法一方法一】直接求解法：直接求解法： 直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公示等，经过变形、推理、计算、判 断得到结论. 这种方法是解填空题的最基本、最常用的方法. 使用直接法解填空题，要善 于通过现象看本质，自觉地，有意识地采取灵活、简捷的解法. 例例 1 1 已知双曲线的离心率为 2，焦点与椭圆的焦点相同，那 22 22 1 xy ab 22 1 259 xy 么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 . 【解析解析】双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出焦点坐标为，又双曲线离心率为( 4,0) 2，即，故，渐近线为2,4 c c a 2,2 3ab .3 b yxx a 例例 2 2 某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管 理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了 抽样调查，其中 4 位居民的月均用水量分别为 （单位：吨） 。根据图 2 所示的程序框图，若分 别为 1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为 . 【解析解析】第一（ 1i ）步： 110 11 i xss 第二（ 2i ）步： 5 . 25 . 11 11 i xss 第三（ 3i ）步： 45 . 15 . 2 11 i xss 第四（ 4i ）步： 624 11 i xss ， 2 3 6 4 1 s 第五（5i）步：45 i，输出 2 3 s 【方法二方法二】 特殊化法：特殊化法： 当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的 信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取符合条件的恰当特殊值（特殊 函数，特殊角，特殊数列，特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而 得出探求的结论. 这样可以大大地简化推理、论证的过程. 此种方法也称为“完美法” ，其 根本特点是取一个比较“完美”的特例，把一般问题特殊化，已达到快速解答. 为保证答 案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例. 例例 3 3 已知定义在上的奇函数满足，且在区间0，2上是增R( )f x(4)( )f xf x 函数，若方程（）在区间上有四个不同的根，则( )f xm0m 8 , 8 1234 xxxx， 1234 xxxx 例例 4 4 在中，角所对的边分别为，如果成等差数列，ABC, ,A B C, ,a b c, ,a b c 则_. coscos 1 coscos AC AC 【解析解析】取特殊值，则，.3,4,5abc 4 cos,cos0 5 AC coscos4 1 coscos5 AC AC 或取，则，代入也可得.也可利用正弦定理边1,1,1abc 1 coscoscos60 2 AC 化角及三角函数和差化积直接求解。 【方法三方法三】 数形结合法：数形结合法： 对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形， 做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确 的结果. 例例 5 5： 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交FCBBF 于点，且，则的离心率为 .CD2BFFD C 【解析解析】如图所示， , 22 |BFbca 作轴于点 D1,则由，得 1 DDy2BFFD ,所以,即,由椭圆的第二定义 1 |2 |3 OFBF DDBD 1 33 | 22 DDOFc 3 2 D c x 又由,得,整理得.两 22 33 |() 22 acc FDea ca | 2|BFFD 2 3 2 c aa a 22 3ac 边都除以,得. 2 a 3 3 e 例例 6 6 定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为， (0,) 2 6cosyx5tanyxP 过点作轴于点，直线与的图像交于点,则线段的长为P 1 PPx 1 P 1 PPsinyx 2 P 1 P 2 P _. 【解析解析】线段的长即为的值，且其中的满足，解得 1 P 2 Psin xx6cosx5tan x ，即线段的长为.sin x 2 3 1 P 2 P 2 3 【特别提醒特别提醒】考虑通过求出点，的纵坐标来求线段长度，没有想到线段长度的意 1 P 2 P 义，忽略数形结合，导致思路受阻. 【方法法四方法法四】 特征分析法：特征分析法： 例例 7 7 已知函数满足：( )f x ，则 1 (1) 4 f4 ( ) ( )()(),( ,)f x f yf xyf xyx yR _(2010)f 【特别提醒特别提醒】忽略自变量是一个数值较大的正整数，没有考虑函数值的周期性规律或数列 与函数的联系，一味考虑直接求而导致思路受阻.(2010)f 例例 8 8 五位同学围成一圈依序循环报数，规定： 第一位同学首次报出的数为 1.第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报 出的数都是前两位同学所报出的数之和； 若报出的是为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次， 当第 30 个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 【方法五方法五】构造法：构造法： 根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些熟悉的数学模型，并借助于它认识和解决 问题的一种方法. 例例 9 9 如图，在三棱锥中，三条棱，两两垂直，且OABCOAOBOCOA OB ,分别经过三条棱，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，OCOAOBOC 1 S ，则，的大小关系为 . 2 S 3 S 1 S 2 S 3 S 【解析解析】此题考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力， 已知条件少，没有具体的线段长度，应根据三条棱两两垂直 的特点，以，为棱，补成一个长方体.OAOBOC 通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长 ，分别为 1，2，3 得.OAOBOC 321 SSS . 例例 1010 已知实数满足，则=_., x y 55 (35 )40 xyxxy4xy 【解析解析】此题考查数学知识的运用能力，两个未知数一个方程，且方程次数较高，不 能直接求出，的值，应考虑将整体求出，注意方程的结构特点。构造函数xy4xy ，则已知变为，即，根据 5 ( )f ttt 55 (3)(3)()xyxyxx (3)( )fxyf x 函数是奇函数且单调递增可得，于是，即( )f t(3)fxy()fx3xyx .40 xy 【题型六题型六】多选型多选型 给出若干个命题或结论，要求从中选出所有满足题意的命题或结论. 这类题不论多选 还是少选都是不能得分的，相当于多项选择题.它的思维要求不同于一般的演绎推理，而是 要求从结论出发逆向探究条件，且结论不唯一.此类问题多涉及定理、概念、符号语言、图 形语言.因此，要求同学们有扎实的基本功，能够准确的阅读数学材料，读懂题意，根据新 的情景，探究使结论成立的充分条件.判断命题是真命题必须通过推理证明，而判断命题是 假命题，举反例是最有效的方法. 例例 1111 一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 _(填入所有可能的几何体前的编号) 三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱 例例 12.12.甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球.先 从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和 12 ,A A 3 A 黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列B 结论中正确的是_（写出所有正确结论的编号）. ； ； 事件与事件相互独立； 2 5 P B 1 5 | 11 P B AB 1 A 是两两互斥的事件； 的值不能确定，因为它与中哪 123 ,A A A P B 123 ,A A A 一个发生有关. 【解析解析】此题考查概率有关知识，涉及独立事件，互斥事件的概念.题型为多选型，应 根据题意及概念逐个判断.易见是两两互斥的事件，事件的发生受到事件的 123 ,A A AB 1 A 影响，所以这两事件不是相互独立的.而 . 123 5524349 ( )| 10111011101122 P BP B AP B AP B A 所以答案. 【特别提醒特别提醒】容易忽略事件的发生受到事件的影响，在求事件发生的B 123 ,A A AB 概率时没有分情况考虑而导致求解错误. 【题型七题型七】探索型探索型 从问题给定的题设中探究其相应的结论，或从给定题断要求中探究其相应的必须具备 的条件.常见有：规律探索、条件探索、问题探索、结论探索等几个类型.如果是条件探索 型命题，解题时要求学生要善于从所给的题断出发，逆向追索，逐步探寻，推理得出应具 备的条件，进而施行填空；如果是结论探索型命题，解题时要求学生充分利用已知条件或 图形的特征进行大胆猜想、透彻分析、发现规律、获取结论. 例例 13.13.观察下列等式： ; 2 cos22cos1 ; 42 cos48cos8cos1 ; 642 cos632cos48cos18cos1 8642 cos8128cos256cos160cos32cos1 108642 cos10cos1280cos1120coscoscos1mnp 可以推测， . mnp 【解析解析】因为所以；观察可得 1 22 , 3 82 , 5 322 , 7 1282 , 9 2512m ，所以.400n 50p 962mnp 例例 14.14.观察下列等式： ，根据上述规律，第五个等式为 332333233332 123 1 +2 +3 =6 1 +2 +3 +4 =10， ._ 【解析解析】 （方法一）所给等式左边的底数依次分别为 1,2；1,2,3；1,2,3,4，右边 的底数依次分别为 3,6,10（注意：这里） ，由底数内在规律可知：1046 , 633 第五个等式左边的底数为，右边的底数为.6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1216510 又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为 . 2333333 21654321 （方法二）易知第五个等式的左边为，且化简后等于 333333 654321 ，而，故易知第五个等式为441 2 21441 2333333 21654321 【题型吧题型吧】新定义型新定义型 定义新情景，给出一定容量的新信息（考生未见过） ，要求考生依据新信息进行解题. 这样必须紧扣新信息的意义，将所给信息转化成高中所学习的数学模型，然后再用学过的 数学模型求解，最后回到材料的问题中给出解答.此类问题多涉及给出新定义的运算、新的 背景知识、新的理论体系，要求同学有较强的分析转化能力，不过此类题的求解较为简单. 例例 15.15.对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称 为平面上的凸集，给出平面上 4 个点集的图形如下（阴影区域及其边界）： 其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）. 【解析解析】在各个图形中任选两点构成线段，看此线段是否包含于此图形，可以在边界 上，故选. 【特别提醒特别提醒】忽略是由两个圆构成一个整体图形，从两个圆上各取一点构成的线段 不包含于此图形，易误选. 例例 16.16.若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立， n anN m m an 记这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是m() n a () n a n a ，则数列是已知对任意的，1,2,3 , n ， * () n a0,1,2,1,n ，Nn ，则 ， 2 n an 5 ()a () ) n a 【题型九题型九】组合型组合型 给出若干个论断要求学生将其重新组合，使其构成符合题意的命题.解这类题，就要求 学生对所学的知识点间的关系有透彻的理解和掌握，通过对题目的阅读、理解、分析、比 较、综合、抽象和概括，用归纳、演绎、类比等推理方法准确地阐述自己的观点，理清思 路，进而完成组合顺序. 例例 17.17.是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同直线，给出下列四, m,n 个论断： （1 1）,（2 2）,（3 3）（4 4），若以其中三个论断作为条件，mnnm 余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：_ _._. 解：解：通过线面关系，不难得出正确的命题有： （1 1）,；（2 2）,.mnmnmnmn 所以可以填, (或,).mnmnmnmn 【专题训练】 1已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a9成等比数列，则 a1a3a9 a2a4a10 _. 解析：由已知得aa1a9，(a12d)2a1(a18d)， 2 3 a1d， . a1a3a9 a2a4a10 3a110d 3a113d 13 16 答案： 13 16 2cos 2cos 2(120)cos 2(240)的值为_ 解析：本题的隐含条件是式子的值为定值，即与 2无关，故可令0，计算得 上 式值为 0. 答案：0 3如果不等式(a1)x的解集为A，且Ax|0x2，那么实数a的取值范 4xx2 围 是_ 4 设f(x)Error!Error!若方程f(x)x有且仅有两个实数解，则实数a 的取值范围是_ 解析：先给a一个特殊值，令a0，可画出x0 时的图象当 00时的图象，其图象呈周期变化，然后再由参数a的意 义使图象作平移变换，由此确定a的取值范围，最后求出a的取值范围 答案