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文档简介
第49节抛 物 线一、选择题1(2018沈阳质量监测)抛物线y4ax2(a0)的焦点坐标是()A(0,a)B(a,0)C.D【答案】C【解析】将y4ax2(a0)化为标准方程得x2y(a0),所以焦点坐标为.故选C.2(2018辽宁五校联考)已知AB是抛物线y22x的一条焦点弦,|AB|4,则AB中点C的横坐标是()A2BCD【答案】C【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|x1x2p4.又p1,所以x1x23.所以点C的横坐标是.3(2018邯郸质检)设F为抛物线y22x的焦点,A,B,C为抛物线上三点若F为ABC的重心,则|的值为()A1 B2C3 D4【答案】C【解析】由题意可设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点F,x1x2x33,则|(x1)(x2)(x1x2x3)3.故选C.4(2018河北三市联考)过点P(2,0)的直线与抛物线C:y24x相交于A,B两点,且|PA|AB|,则点A到抛物线C的焦点的距离为()A.BCD2【答案】A【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),分别过点A,B作直线x2的垂线,垂足分别为点D,E.|PA|AB|,又解得x1,则点A到抛物线C的焦点的距离为1.5(2018广东汕头联考)已知P为抛物线y24x上一个动点,Q为圆x2(y4)21上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A21B22C1D2【答案】C【解析】由题意得圆x2(y4)21的圆心A(0,4),半径r1,抛物线的焦点F(1,0)由抛物线的几何性质可得:点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|r11.故选C.二、填空题6(2018沈阳质量监测)已知抛物线x24y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,过点P作PAl于点A,当AFO30(O为坐标原点)时,|PF|_.【答案】【解析】设l与y轴的交点为B,在RtABF中,AFB30,|BF|2,所以|AB|,设P(x0,y0),则x0,代入x24y中,得y0,从而|PF|PA|y01.7(2018云南检测)已知抛物线C的方程为y22px(p0),圆M的方程为x2y28x120,如果抛物线C的准线与圆M相切,那么p的值为_【答案】12或4【解析】将圆M的方程化为标准方程为(x4)2y24,圆心的坐标为(4,0),半径r2.又抛物线的准线方程为x,|4|2,解得p12或4.8(2018兰州、张掖联考)如图,过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A,B,C.若|BC|2|BF|,且|AF|3,则抛物线的方程是_【答案】y23x【解析】分别过点A,B作准线的垂线AE,BD,分别交准线于点E,D(图略),则|BF|BD|,|BC|2|BF|,|BC|2|BD|,BCD30.又|AE|AF|3,|AC|6,即点F是AC的中点根据题意,得p,抛物线的方程是y23x.三、解答题9(2018辽宁葫芦岛模拟)已知抛物线y24px(p0)的焦点为F,圆W:(xp)2y2p2的圆心到过点F的直线l的距离为p.(1)求直线l的斜率;(2)若直线l与抛物线交于A,B两点,WAB的面积为8,求抛物线的方程【解】(1)易知抛物线y24px(p0)的焦点为F(p,0),由题意知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为xmyp,因为W(p,0),所以点W到直线l的距离为p,解得m,所以直线l的斜率为.(2)由(1)知直线l的方程为xyp,由于两条直线关于x轴对称,不妨取xyp,联立消去x得y24py4p20,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y24p,y1y24p2,所以|AB|16p.因为WAB的面积为8,所以p16p8,解得p1.所以抛物线的方程为y24x.10(2018合肥质检)已知抛物线C1:x22py(p0),O是坐标原点,点A,B为抛物线C1上异于O点的两点,以OA为直径的圆C2过点B.(1)若A(2,1),求p的值以及圆C2的方程;(2)求圆C2的面积S的最小值(用p表示)【解】(1)A(2,1)在抛物线C1上,42p,p2.又圆C2的圆心为,半径为,圆C2的方程为(x1)22.(2)记A(x1,),B(x2,),则(x2,),(x2x1,)由0,知x2(x2x1)0.x20,且x1x2,xx1x24p2.x1.xx8p228p216
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