高一数学高一数学北师大版期末复习教案

一. 教学内容：高一数学北师大版期末复习本讲是必修二的复习提要，主要内容包括：立体几何初步与平面解析几何初步。二. 学习目标： 1、立体几何部分：通过对空间几何体的整体观察，认识空间图形；以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；2、解析几何部分：通过在平面直角坐标系中研究直线和圆的方程（代数方程），运用代数方法研究其几何性质及其相互位置关系；了解空间直角坐标系；体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。三. 知识要点：I、立体几何初步（一）空间点、线、面的位置关系1、点与直线：点在直线上，记作；点在直线外，记作；2、点与平面：点在平面上，记作；点在平面外，记作；3、直线与直线：直线共面，包括平行（记作lm）和相交（记作）；直线异面；4、直线与平面：直线在平面内，记作；直线在平面外，包括平行（记作）和相交（记作）；5、平面与平面：平面与平面相交（记作）或平行（记作）注意：中学立体几何中，如果不加特殊说明，两个平面、两条直线均不包括重合。（二）空间图形的公理1、公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）；2、公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）；3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线；4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。5、等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。（三）空间关系的判定与性质空间平行关系的判定与性质1、直线与平面平行的判定：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；2、平面与平面平行的判定：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；3、直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与这个平面的交线与该直线平行；4、平面与平面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行空间垂直关系的判定与性质1、直线与平面垂直的判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直；2、平面和平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；3、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行；4、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面；（四）简单几何体的面积与体积1、旋转体的侧面积：说明：圆台侧面积公式可作为旋转体侧面积统一公式。2、简单多面体的侧面积：，其中，为上、下底周长和斜高说明：正棱台的侧面积公式可作为简单多面体的侧面积统一公式。3、体积：说明：台体的体积公式可作为体积公式的统一公式。II、解析几何初步（一）直线与直线的方程1、斜率的计算公式：2、直线的方程：点斜式：斜截式：两点式：截距式：一般式：（二）两条直线的位置关系1、两条直线平行：；2、两条直线垂直：；3、两条直线的交点：联立两条直线的方程，求方程的公共解；4、点到直线的距离：（三）圆与圆的方程1、圆的方程：标准方程：一般式方程：2、直线与圆的位置关系：相离：相切：相交：3、圆与圆的位置关系：相离：相外切：相内切：相交：内含：（四）空间直角坐标系1、确定空间点的坐标的方法：由该点P向xOy平面作垂线，垂足M的横、纵坐标即为点P的横、纵坐标；若点P与z轴在xOy平面的同侧，则z|PM|；若点P与z轴在xOy平面的两侧，则z|PM|；若点P在xOy平面上，则z0；2、空间两点的距离公式：四. 考点与典型例题考点一 共点、共线或共面问题例1. 点P、Q、R分别在三棱锥ABCD的三条侧棱上，且PQBCX，QRCDZ，PRBDY。求证：X、Y、Z三点共线。证明：P、Q、R三点不共线，P、Q、R三点可以确定一个平面。XPQ，PQ，X，又XBC，BC平面BCD，X平面BCD。点X是平面和平面BCD的公共点。同理可证，点Y、Z都是这两个平面的公共点，即点X、Y、Z都在平面和平面BCD的交线上。说明：证明点共线的基本方法是利用公理2，证明这些点是两个平面的公共点。证明线共点的基本方法是证明其中两线的交点在第三条直线上；证明面共点的基本方法是证明两个平面的交线与第三个平面相交。考点二 平行关系的研究例2. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是C1D1的中点，M、N分别是对角线AC、DA1上的点，且满足AMMCDNNA112。证明：（1）BD1MN；（2）BD1平面MND；（3）平面PB1C平面MND。证明：（1）连结D1N并延长交AD于Q， A1D1NDQN，且DNNA112， Q为AD的中点，连QB交AC于M，易证M与M重合，在QD1B中， QNND1QMMB12， MNBD1。（2）由（1）证得MNBD1，又 BD1面MND，MN面MND， BD1面MND。（3）连结B1C， A1B1CD，四边形A1B1CD是平行四边形， A1DB1C， A1D面PB1C。延长DM交AB于，则为AB中点，取CD中点L，易证DBL，BLPB1， DPB1， D面PB1C，又 A1D与D是面MND的两条相交直线，故面PB1C面MND。说明：判断平行关系主要根据平行的判定定理和定义；另外，可根据面面平行的性质证明线线平行，根据面面平行的传递性、垂直于同一条直线的两个平面平行等结论可证明面面平行（具体可参看第14讲）考点三 垂直关系的研究例3. 直角ABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为AC中点。求证：面SAC面ABC；若直角边BABC，求证：BD面SAC证明：（1）连结SD，则由SASC可知：SA2AD2SD2且SDAC（*）。又BD是RtABC斜边上中线，故BDAD，从而SA2AD2SD2BD2SD2。又SA2SB2，故SB2BD2SD2，即SDBD（*）。由（*）、（*）可知：SD平面ABC，故平面SAC平面ABC；（2）若BABC，则BDAC；又由（1）可知：SD平面ABC从而有：SDBD，故BD平面SAC。说明：垂直关系中最重要的是线线垂直，无论是线面垂直还是面面垂直，大多数情况下都是通过线线垂直研究的；但证明线线垂直除了定义法，计算法外，很多情况下又是通过线面垂直进行判断的。考点四 面积和体积的求解例4. 正六棱柱的一条较长对角线长是13cm，侧面积为180cm2，求棱柱的体积。解：设底面边长为a，高为h，则S侧6ah180，故ah30。因为较长对角线长为13，故有：132（2a）2h2，解得：a6或2.5。代入。说明：求面积和体积的问题一般先将其分解为求线段长度和夹角两种基本题型，然后再利用相关公式进行求解。在求线段和夹角前需要考虑选择哪个公式（面积公式或体积公式），这样才能确定求哪条线段和哪个角。考点五 求直线方程 例5. 求直线关于直线对称的直线方程。解：设所求的对称直线上任意一点坐标为（x，y）关于直线的对称点为，则解得因为在直线上所以即说明：求直线方程的主要思路有直接法、公式法（待定系数法）、相关点法、直线系法等。本题属相关点法。考点六 研究两直线位置关系例6. 已知两直线l1：xm2y60，l2：（m2）x3my2m0，当m为何值时，l1与l2：（1）相交；（2）平行；（3）重合?解：当m0时，l1：x60，l2：x0，l1l2。当m2时，l1：x4y60，l2：3y20，l1与l2相交。当m0且m2时，由得m1或m3，由得m3。故（1）当m1，m3且m0时，l1与l2相交；（2）当m1或m0时，l1l2；（3）当m3时，l1与l2重合。说明：研究两直线的位置关系（包括求交点和夹角），主要通过直线方程的系数间的关系进行判断。考点七 圆的方程与性质例7. 已知圆A的圆心在曲线上，圆A与y轴相切，又与另一圆相外切，求圆A的方程。解：设圆A的圆心坐标为，半径为r，依题有解之得：或 所求圆A的方程为：或考点八 直线与圆及圆与圆的位置关系例8. 由点P（0，1）引圆x2y24的割线l，交圆于A，B两点，使AOB的面积为（O为原点），求直线l的方程。解：设直线l的方程为ykx1 将代入圆的方程整理得（1k2）x22kx30 设其两实数根为x1，x2，由根与系数的关系得 x1x2，x1x2设点A（x1，y1），B（x2，y2）即解得k，故直线l的方程为yx1说明：直线与圆的关系主要研究相切、相交的相关问题，如方程、弦长及参数范围的求解等。考点九 空间坐标例9. 证明：顶点是A（2，4，3），B（4，1，9），C（10，1，6）的三角形是直角三角形并求出各边的长和各内角的大小。 证明：即： 又： 故各边长为：各内角为：五. 本讲涉及的主要数学思想方法立体几何是对三维空间关系的研究，我们将在立体几何的学习中认识一些空间图形，培养和发展空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流能力以及几何直观能力；解析几何的学习中主要掌握解析法，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想方法。【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（ ）A. 圆锥 B. 正四棱锥 C. 正三棱锥 D. 正三棱台 2. 长方体三个面的面积为，则长方体的对角线长（ ）A. B. C. D. 3. 已知直线axbyc0（abc0）与圆x2y21相切，则三条边长分别为的三角形（ ）A. 是锐角三角形 B. 是直角三角形 C. 是钝角三角形 D. 不存在4. 点（0，5）到直线y2x的距离为（ ）A. B. C. D. 5. 若三棱锥PABC的三条侧棱与底面所成的角都相等，则点P在底面ABC上的射影一定是DABC的（ ）A. 外心 B. 垂心 C. 内心 D. 重心 6. （2020全国）如图，正四棱柱中，则异面直线所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 7. 过点P（2，1）作圆C：x2y2ax2ay2a10的切线有两条，则a的取值范围为（ ）A. a3 B. a3 C. 3a D. 3a或a2二、填空题8. （2020）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 。9. （山东理）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 。三、解答题10. （2020山东改）已知O的方程是，O的方程是，由动点向O和O所引的切线长相等，求动点的轨迹方程。11. （2020全国改）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知ABC45，SASB。证明：SABC。12. （2020湖北改）由直线上的一点向圆引切线，求切线长的最小值。 13. （2020全国改）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。（）求证：EF平面SAD；（）设SD2CD，求二面角AEFD的正切值；试题答案一、选择题：CDBBC DD二、填空题：8. 。解答：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，EDF90，已知正三棱柱的底面边长为AB2，则该三角形的斜边EF上的中线DG， 斜边EF的长为2。9. 解答：曲线化为，其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为。三、解答题10. 解：O：圆心，半径