高中数学 第1章 集合与函数 1.1 集合中的数学思想方法例析素材 湘教版必修1（通用）

集合中的数学思想方法例析数学思想和数学方法是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁，信息社会越来越多的要求人们自觉地运用数学思想提出问题和用数学方法解决问题近几年的高考数学试题，越来越注重对数学思想和数学方法的考查，这已成为高考热点问题为帮助同学们更好地理解和掌握最常用的基本数学思想和数学方法，特结合同学们已经学过的集合中有关的数学思想方法要点归纳如下，以扩大读者的视野一、等价转化思想在解集合问题时，当一种集合的表达式不好入手时，可将其先转化为另一种形式比如：将= B或将= A转化为，将转化为，将转化为等例1 已知M =(x，y)| y = xa，N =(x，y)| xy= 2，求使得=成立的实数a的取值范围。解：=等价于方程组无解。把y = xa代入方程xy= 2中，消去y，得关于x的一元二次方程2x2axa2= 0。问题又转化为一元二次方程无实根，即= (2a)42(a2)0，由此解得a2或a2。故所求实数a的取值范围是a | a2或a2。评析：在理解集合符号的基础上，准确地将集合语言转化为初中已学过的数学问题，然后用所学的知识和方法把问题解决这种转化可以把抽象知识用简洁、准确的数学语言表达出来，提高解题效率二、分类讨论思想解答集合问题时常常遇到这样的情况：解题过程中，解到某一步时，不能再以统一的方法、统一的形式继续进行，因为这时被研究的数学对象已包含了多种可能的情形，必须选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想方法例2 设集合A = x | x4x = 0，xR，B = x | x2(a1)xa1= 0，aR，xR ，若，求实数a的取值范围。分析：BA可分为B =，BA，B = A三种情况讨论。解：A = 0，4，BA分以下三种情况：当B = A时，B= 0，4，由此知：0和4是方程x2(a1)xa1= 0的两个根，由根与系数之间的关系，得：a = 1。当BA时，又可分为：B =时，= 4(a1)4(a1)0，解得a1；B时，B = 0或B = 4，并且= 4(a1)4(a1) = 0，解得a=1，此时B = 0满足题意。综合、知，所求实数a的值为a1或a = 1。评析：解分类讨论问题的实质是将整体化为部分来解决。对于含参数的计划问题，常需要对参数分类讨论。在分类时要注意“不重不漏”。由于空集是任何非空集合的真子集，空集必是非空集合的真子集，因此，B =时也满足BA所以BA中就应考虑B =与B两种情况，就是说，正是空集引法的分类讨论三、开放思想开放型问题是相对于中学课本中有明确条件和结论的封闭型问题而言的这类问题的知识覆盖面大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度集合中的开放型问题问题大多是结论不定性开放型问题例3 设集合A = (x，y)|yx1= 0 ，集合B =(x，y)| 4x2x2y5 = 0 ，集合C =(x，y)| y = kxb ，是否存在k，bN，使得？若存在，请求出k，b的值；若不存在，请说明理由解：因为，即，所以且将y = kxb代入yx1= 0，得kx(2kb1)xb1= 0，因为，所以= (2kb1)4k( b1)0，即4k4kb10，若此不等式有解，应有16b160，即b1又将y = kxb代入4x2x2y5 = 0，得：4x(22k)x(52b) = 0，因为，所以= (22k)4k(52b)0，即k2k8b190，若此不等式有解，应有44(8b19)0，解得b由不等式、及bN，得b = 2将b = 2代入由0和0组成的不等式组，得，再注意到kN，求得k = 1故存在自然数k = 1，b = 2使得评析：在数学命题中，常以适合某种性质的结论“存在(肯定型)”、“不存在(否定型)”、“是否存在(讨论型)”等形式出现“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象，对于这类问题无论用什么方法只要找出一个，就