高一数学向量综合提高知识精讲

高一数学向量综合提高【本讲主要内容】 向量综合提高【知识掌握】【知识点精析】 1. 本章主要内容有向量的概念、运算及其坐标表示，线段的定比分点，平移，正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用。 2. 向量运算 （1）加法运算 加法法则 运算性质：a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a+0=0+a=a 坐标运算：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=(x1+x2，y1+y2) （2）减法运算 减法法则： 坐标运算：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则 a-b=(x1-x2，y1-y2) 设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1) （3）实数与向量的积 定义：a，其中0时，a与a同向，|a|=|a|； 当0时，a与a反方向，|a|=|a|。0a=0 运算律：(a)=()a，(+)a=a+a，(a+b)=a+b 坐标运算：设a=(x，y)，则a=(x，y)=(x，y) （4）平面向量的数量积定义：ab=|a|b|cos(a0，b0,0180) 0a=0 运算律：ab=ba，(a)b=a(b)=(ab)，(a+b)c=ac+bc 坐标运算：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab=x1x2+y1y2 3. 重要定理、公式 （1）平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1+2e2。 （2）两个向量平行的充要条件 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则 （3）两个非零向量垂直的充要条件： 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则 （4）线段的定比分点坐标公式 设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且= 则 中点坐标公式 （5）平移公式 如果点P(x，y)按向量a=(h，k)平移至P(x，y) 则 （6）正弦定理、余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC 4. 本章的知识结构图 5. 学习中需要注意的问题 （1）这一章里，我们学习的向量具有大小和方向两个要素。用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量。 （2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础。 （3）向量的数量积是一个数。当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；当两个向量的夹角是90时，它们的数量积等于0。零向量与任何向量的数量积等于0。 （4）通过向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直。 （5）数量积不满足结合律，这是因为ab与bc的结果都是数量，所以(ab)c与a(bc)都没有意义，当然就不可能相等。【解题方法指导】 例1. 已知a=(1，2)，b=(-3，2)，当k为何值时 （1）ka+b与a-3b垂直？ （2）ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 解：（1）ka+b=k(1，2)+(-3，2)=(k-3，2k+2) a-3b=(1，2)-3(-3，2)=(10，-4) 当(ka+b)(a-3b)=0时，这两个向量垂直 由(k-3)10+(2k+2)(-4)=0 解得k=19 即当k=19时，ka+b与a-3b垂直 （2）当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数 使ka+b=(a-3b) 由(k-3，2k+2)=(10，-4)，得 这是一个以k、为未知数的二元一次方程组 解这个方程组得 注：在本例中，也可以根据向量平行充要条件的坐标形式，从(k-3)(-4)-10(2k+2)=0， 例2. 知：如图，|=3.2，|=4.8，与的夹角为50，求|及与的夹角(长度保留四个有效数字，角度精确到1)。 解：作平行四边形ABCD，使AC为一边，AB为一条对角线。则就是，也就是，与的夹角就是DAB。 在ABC中，由余弦定理得 |=3.679 在ABC中，|=3.2，|=3.679，BAC=50，由正弦定理得 ACB=4147，CAD=180-ACB=180-4147=13813 DAB=CAD-CAB=13813-50=8813 与的夹角为8813 例3. 设坐标平面上有三点A、B、C，j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量i2j，ij，那么是否存在实数，使A、B、C三点共线。 分析：可以假设满足条件的存在，由A、B、C三点共线 存在实数，使，从而建立方程来探索。 解法一：假设满足条件的存在，由A、B、C三点共线，即 存在实数，使，2j（j） ，2 当2时，A、B、C三点共线 解法二：假设满足条件的存在，根据题意可知：（1，O），j（O，1） （1，O）2（O，1）（1，2） （1，O）（O，1）（1，） 由A、B、C三点共线，即 故11（2）O解得2 当2时，A、B、C三点共线 评述：（1）共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择。（2）本题是存在探索性问题，这类问题一般有两种思考方法，即假设存在法当存在时；假设否定法当不存在时。 例4. 已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线。求证ACBD。 分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件。 证法一：， （）（） 22O 证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）则由ABBC得a2b2c2 （c，O）（a，b）（ca，b） （a，b）（c，O）（ca，b） c2a2b2O ，即ACBD 评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便。通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高对于“数形结合”解题思想的认识和掌握。【考点突破】【考点指要】 本章重点及难点： （1）本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用； （2）本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，已知两边和其中一边的对角解斜三角形等； （3）对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用。 通过学习，要求大家进一步熟悉向量的性质及运算律，熟悉平面几何性质在解题中的应用，能够掌握向量坐标化的思路求解问题，掌握构造向量并利用向量性质解题、证题的方法。【典型例题分析】 例1. 如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。 点评：本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力。 解法一： 解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。 例2.设函数，其中向量，。 （）求函数的最大值和最小正周期； （）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。 点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。 解：()由题意得，f(x)a(b+c)=(sinx,cosx)(sinxcosx,sinx3cosx) sin2x2sinxcosx+3cos2x 2+cos2xsin2x 2+sin(2x+) 所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是 （）由sin(2x+)0得2x+k 即x,kZ 于是d（，2），kZ 因为k为整数，要使最小，则只有k1，此时d（，2）即为所求。 例3. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到）？ 解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010cos120=700 于是,BC=10 ，sinACB= ACB0，则ABC为锐角三角形. 上述命题正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知平面上直线l的方向向量=(，)，点O(0，0)和A(1，2)在l上的射影分别是O和A，则=l，其中l= （ ） A. B. C. 2D. 2 11. 已知向量=(cosq，sinq),向量=(，1）则|2|的最大值，最小值分别是（ ） A. 4，0 B. 4，4 C. 16，0 D. 4，0 12. 已知、为两个非零向量，有以下命题：=，=，|=|且。其中可以作为=的必要但不充分条件的命题是（ ） A. B. C. D. 二. 填空题： 13. 已知点A（2，0）、B（4，0），动点P在直线y=x上，使得取得最小值的点P的坐标是 。 14. 已知向量满足条件，且|=，则P1P2P3为 。 15. 若向量的夹角为，,则向量的模为 。 16. 设，与的夹角，与的夹角为2，且，则的值为 。三. 解答题： 17. 设，是两个垂直的单位向量，且, （）若，求的值； （）若，求的值。 18. 已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cos，sin），()。 （）若，求角的值； （）若=1，求的值。 19. 已知为的三个内角，且。 （1）当取得最小值时，求的度数； （2）当时，将函数按向量平移后得到函数，求向量。 【达标测试答案】 1. B2. A3. D4. 5. 6. 7. 8. 证明：设点B（1，y）是的一个分点，且 则1，解得2 y3 即点B与点B重合 点B在上，点B在上 A、B、C三点共线 9. 解：ab2（ab）2a22abb2 a22abcos30b2 （）2222213 ab ab2（ab)2a22abb2 a22abcos30b2 （）222221 ab1 10. 解：若cd，则cd0 （3a5b）（a3b)0 3a2（59）ab15b20 3a2（59）abcos6015b20 即273（59）600，解得 11. 证明：（1）cd （ab）（ab）0a2b20 a2b2ab （2）ab a2b2a2b20（ab）（ab）0cd 12. ；。【综合测试答案】一. 选择题题号123456789101112答案DCBDBACBCDDA二. 填空题 13. （，）14. 正三角形