2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：47 空间几何体的结构特征及三视图与直观图 Word版含解析.doc

课堂作业47立体几何中的向量方法巩固初次作业的基础进行练习1.(2018全国卷I )如图所示，四边形ABCD是正方形，e、f分别是AD、BC的中点，以DF为折线，折DFC，使点c到达点p的位置，设为PFBF .(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求出DP与平面ABFD所成角的正弦值。解： (1)证明：因为已知，所以是BFPF、BFEF，所以是BF平面PEFBF平面ABFD是平面PEF平面ABFD。(作为PHEF，将从脚h .得到的以PH平面ABFD为坐标原点的方向作为y轴正方向，将|作为单位长度，制作图示那样的空间直角坐标系Hxyz。从(1)中得到的DEPE .另外，由于DP=2，DE=1，因此PE=另外，由于PF=1，EF=2，所以PEPF .可能PH=，EH=h (0，0，0 )，p (0，0 )，D(-1，-，0 )，=(1，=(0，0 ) )是平面ABFD的法线向量。如果设DP与平面ABFD所成角为sin=。DP与平面ABFD所成角的正弦值2.(2019辽宁五校联合试验)如图所示，在四角锥EABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中CDAB、bc、ab、侧面ABE、平面ABCD，AB=AE=BE=2BC=2CD=2，运动点f位于棱AE上，EF=FA(1)试验的值，使其成为CE平面BDF，给出证明(2)=1时，求出直线CE与平面BDF所成角的正弦值.解： (1)=时，CE平面BDF证书如下：将AC交叉点BD与点g连接，连接GFCDAB，AB=2CD=22222222222222222222652GFCE另外，ce平面BDF、gf平面BDFce平面BDF .(2)取ab的中点o，连接EO的话EOAB1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111EO平面ABCD连接DO，BOCD，BO=CD=1四边形BODC是平行四边形，BCDO又BCAB，8756； abodOD、OA、OE正交，将OD、OA、OE所处的直线分别设为x、y、z轴，若确立空间正交坐标系Oxyz，则能够确立o (0，0，0 )、a (0，1，0 )、b (0，1，0 )、d (1，0，0 )、c (1，1，0 )、e (0，0 )，=1时，有=，F(0，)=(1，1，0 )、=(-1，1，)、=(0，)假设平面BDF法线向量为n=(x，y，z )马上就有如果设z=、y=-1、x=1，则n=(1，-1)是平面BDF法线向量如果将直线CE与平面BDF所成角设为sin=|cos ，n|=，直线CE与平面BDF所成角的正弦值3.(2019南昌勘探调查)如图所示，在四角锥ABCD中，将ABC=ACD=90、BAC=CAD=60、PA平面ABCD、PA=2、AB=1、n分别作为PD、AD中点(1)求证：平面CMN平面PAB；(2)求出二面角NPCA的平面角的馀弦值解： (1)证明：m、n分别为PD、AD的中点、MNPA另外，mn平面PAB、pa平面PABMn平面PAB .在RtACD中，873cad=60，CN=ANACN=60。另外BAC=60，CNAB .cn平面PAB、ab平面PABcn平面PAB .另外CNMN=N，8756； 平面CMN平面PAB .(2)PA平面ABCD平面PAC平面ACD另外DCAC、平面PAC平面ACD=ACDC平面PAC .如图所示，以点a为原点，以存在AC直线为x轴，以存在AP的直线为z轴，确立空间正交坐标系a (0，0，0 )、c (2，0，0 )、p (0，0，2 )、d (2，2，0 )、n (1，0 )、(-1，0 )、=(1，2 )当n=(x，y，z )为平面PCN法线向量时可以取n=(，1，)平面PAC的一个法向量是=(0，2，0 )，cos，n=由图可知，二面角NPCA的平面角为锐角二面角NPCA平面角的馀弦值为4.(2019昆明调查测试)如图所示，在四角锥ABCD中，底面ABCD为直角梯形，873adc=90，abCD，AB=2CD .平面PAD平面ABCD，PA=PD，点e在PC上，是DE平面PAC(1)证明： PA平面PCD(设AD=2，平面PBC与平面PAD所成的二面角为45，则求出DE的长度。解： (1)证明从de平面PAC得到DEPA另外，平面PAD平面ABCD、平面PAD平面ABCD=AD、CDAD所以是CD平面PAD所以是CDPA另外，因为CDDE=D，所以PA平面PCD(2)取ad的中点o，连接PO因为PA=PD，所以POADPO平面ABCD将o作为坐标原点制作空间正交坐标系Oxyz时，如图所示.从(1)到PAPD，从AD=2到PA=PD=，OP=1假设CD=a，则p (0，0，1 )，d (0，1，0 )，C(a，1，0 )，B(2a，- 1，0 )=(-a，2，0 )，=(a，1，-1)设m=(x，y，z )为平面PBC法线向量时由得如果x=2，则y=a，z=3a，因此m=(2，a，3a )是平面PBC法线向量(n=(a，0，0 )是平面PAD的法线向量，|cosm，n|=|，a=，即CD=、在RtPCD中为PC=可以用等面积法得到DE=.5.(2019郑州初次质量预测)如图所示，在三角锥PABC中，平面PAB平面ABC、AB=6、BC=2、AC=2、d、e分别在线段AB、BC上的点，是AD=2DB、CE=2EB、PDAC .(1)要求证书： PD平面ABC；(2)求出直线PA与平面ABC所成角为平面PAC与平面PDE所成的尖锐的二面角.解： (1)从问题中得知AC=2，BC=2，AB=6AC2 BC2=AB2，-卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653cos _ ABC=.BD=2，容易理解CD2=22 (2)2-222cosABC=8CD=2，另外AD=4CD2 AD2=AC2，CDAB .1111111000星际航空6CD平面PAB，8756； cdpd，PDAC，ACCD=CPD平面ABC .(2)由(1)可知的PD、CD、AB这2个相互正交能够制作图那样直角坐标系Dxyz直线PA与平面ABC所成的角为PAD=，PD=AD=4A(0，-4，0 )、c (2，0，0 )、b (0，2，0 )、p (0，0，4 )、(-2，2，0 )、=(2，4，0 )、=(0，- 4，-4) .AD=2DB，CE=2EB，DEAC(1)至ACBC，8756； 认识debc，另外，PD平面ABC、8756； PDBCPDDE=D，CB平面PDE=(-2，2，0 )是平面PDE的一个法向量假设平面PAC法线向量为n=(x，y，z )8756； 设z=1时x=，y=-1，8756； n=(、- 1，1 )是平面PAC的一个法线向量cosn，是，由于平面PAC与平面PDE所成锐角的馀弦值为，所以平面PAC与平面PDE所成的锐角为30第二次作业高考模拟解答题体会1 .如图所示，在正三角柱ABCA1B1C1中，AB=AA1=2，点p、q分别是A1B1、BC中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的馀弦值(2)求出直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.解：如图所示，在正三角形ABCA1B1C1中，当将AC、A1C1的中点分别连接o、O1、OB、OO1时，以OB、oc、OO1、oc、OO1、OB为基础，确立空间正交坐标系Oxyz(1)由于p是A1B1的中点，因此p (，-，2 )，因此=(-，-，2 )，=(0，2，2 )因此|cos=的因此，异面直线BP与AC1所成角的馀弦值(2)q是BC的中点，所以q (，0 )是因此=(，0 )，=(0，2，2 )，=(0，0，2 )当n=(x，y，z )为平面AQC1法线向量时即，即请取n=(、- 1，1 )若设直线CC1与平面AQC1所成角为sin=|cos =，直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值2.(2018北京卷)如图所示，在三角柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC、d、e、f、g分别是AA1、AC、A1C1、BB1中点、AB=BC=、AC=AA1=2.(1)求证： AC平面BEF；(2)求出二面角BCDC1的馀弦值(3)证明：直线FG与平面BCD相交解： (1)在三角柱ABCA1B1C1中因为CC1平面ABC因此，四边形A1ACC1是矩形.另外，e、f分别是AC、A1C1中点ACEF因为是AB=BC所以是ACBE。所以AC平面BEF .(2)从(1)中知道ACEF、ACBE、EFCC1。另外，由于是CC1平面ABC，所以EF平面ABC .因为是be平面ABC所以是EFBE。如图所示创建空间正交坐标系Exyz从问题中得到e (0，0，0 )，b (0，2，0 )，c (-1，0，0 )，d (1，0，1 )，f (0，0，2 )，g (0，2，1 )。因此=(-1，- 2，0 )、=(1，- 2，1 )设平面BCD法线向量为n=(x0，y0，z0 )即，即当y0=-1时，x0=2，z0=-4 .因此n=(2，-1，-4) .另外，由于平面CC1D法线向量=(0，2，0 )cosn，=-.根据问题可知，二面角BCDC1为钝角，因此其馀弦值为-证明了由(n=(2)得知平面BCD的法线向量为n=(2，-1，-4)、=(0，2，-1) .由于n=20 (-1)2 (-4)(-1)=20，所以直线FG与平面BCD相交.如图所示，四角锥PABCD的底面为矩形，已知PA=PB=PC=BC=1，AB=，越过底面的对角线AC作为与PB平行的平面与PD相交(1)试验性地判定和证明点e的位置；(2)求出二面角EACD的馀弦值解： (1)E是PD的中点。如图所示，连接OE时，由于pb平面AEC、平面PBD平面AEC=OE、Pb平面AEC，因此PBOE .或o是BD的中点，因此可以证明e是PD的中点。(2)连接po是因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OC。因为PA=PC，所以POAC。同样，由于获得了POBD，所以PO平面ABCD以o为原点，以存在OP直线为z轴，以过o与AD平行的直线为x轴，以过o与CD平行的直线为y轴，确立空间正交坐标系(未图示).容易得到a、bc、d、p、e则=，=.显然是平面ACD的法向量当n1=(x，y，z )为平面ACE法线向量时即，即设y=1，则n1=(、1、2 )cosn1，二面角EACD的馀弦值为4.(2019辽宁沈阳二型)如图所示，在直三角柱ABCA1B1C1中，AC=AA1=2，d是棱CC1中点，AB1A1B=O .(1)证明： C1O平面ABD(2)将二面角DABC正切值设为以ACBC、e为线段A1B上的一点，将CE与平面ABD所成的角的正弦值设为求出的值.解： (1)证明：如图所示，取出AB的中点f，连接OF、DF侧面ABB1A1为平行四边形，8756； o是AB1的中点bb1，OF=BB1 .另外C1DBB1，C1D=BB1OF=C1D，OF=C1D，8756； 四边形OFDC1是平行四边形，8756； c1odfc1o平面ABD、df平面ABD、c1o平面ABD(2)如图所示，过去c使CHAB为h来连接DH，DHC是二面角DABC的平面角DC=1，tanDHC=，CH=此外，AC=2，ACBC、BC=2若以c为原点制作空间正交坐标系Cxyz，则如图所示.a (2，0，0 )、b (0，2，0 )、d (0，0，1 )、a1(2，0，2 )、(-2，2，0 )、=(0，- 2，1 ) .假设平面ABD的法线向量为n=(x，y，z )当y=1时，得到n=(1，1，2 ) .=(01)。=(2，- 2，2 )为=(2，2-2，2)ce与平面ABD所成角的正弦值|cos ，22222222222222222226整理后，362-44 13=0解=或，即=或。5.(2019天津模拟)如图所示，底面ABCD是边长为3的正方形，平面ADEF平面ABCD、AFDE、ADDE、AF=2、DE=3.(1)求证：平面ACE平面BED；(2)求出直线CA与平面BEF所成的角的正弦值(3)线段AF上存在点m，二面角MBED的大小是否为60？ 如果存在，求得的值如果不存在，说明理由解： (1)因为平面ADEF平面ABCD、平面ADEF平面ABCD=AD、de平面ADEF、DEAD，所以DE平面ABCD因为ac平面ABC