高一数学：6.5《最简三角方程》教案（沪教版上）

课题 最简三角方程一、教案设计思考这节课的内容是给出三角方程的定义，以及解最简三角方程的基本方法，其中要应用到三角函数性质及图像、反三角函数、诱导公式等知识，还包括数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法，是对所学过的许多三角知识进行应用，在三角比和三角函数这两章内容中的地位还比较重要，它是先有三角比值，然后要研究满足这样的条件的角是什么，也完善了解三角形的理论基础这节课用解三角形时的一个问题来引入，简单并能引起同学的兴趣，然后整节课采用启发、探究的教学方法，调动同学积极思考问题二、教学目标理解三角方程、最简三角方程的定义，掌握三种最简三角方程的解法；体会由特殊到一般的研究问题的方法，能综合运用所学知识解决问题，能用数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法解决有关问题三、教学重点、难点解三角方程的思想方法四、教学方法和手段采用启发式教学模式五、教学过程1、引入前面我们重点学习了三角函数的有关知识，研究了角的变化对三角比值的影响，在解三角形中我们已经遇到知道了一个角的三角比值，要求这个角，如知道，由于角是三角形中的内角，所以有或，今后我们会遇到类似的问题，特别是当角的大小没有条件限制时，那么满足的有多少呢？我们把这样的方程叫做三角方程，那么如何解这类方程呢？下面就请同学思考这个问题2、探究要研究如何解三角方程，先解决较简单的方程，就以为例，同学思考后，进行交流讨论同学1：这个方程应该有无数多个解，但还没有找到解决的方法同学2：和都是方程的解，又函数的最小正周期是，所以此方程的解集是或，教师：好，你的确找到了方程的许多解，但是会不会有其它的解遗漏了呢？同学3：不会遗漏，由于函数的最小正周期是，只要先找到在的解，那么方程的所有解都找到了，画出函数与的图象，发现在内的交点有且只有两个，交点横坐标为和，所以方程的解集是或，教师：很好，方程有无数个解，找到所有的解的方法是利用三角周期的性质，先在一个最小正周期内找到解，然后找到方程所有解那么，方程又如何解呢？同学4：方法跟前面一样，只是在内的解要用反三角函数来表示，即方程的解集是或，教师：很好，方程又如何解呢？同学5：方法跟前面一样，在内的解也有两个教师：哪两个呢？同学5：一个是，另一个是此时引起许多同学的争论，觉得这里有问题同学6：先在内找到解，一个是，另一个是教师：为什么？同学6：书上就是这样说的，先选取区间又引起同学争论同学7：先在内找到解，一个是，另一个是，然后是方程的解集就是或，教师：很好，这里先选择哪个周期的标准是如何能顺利表示出解来，由反三角函数知识，这个区间最好包括，而在内的图象又是关于直线对称的那么方程又如何解呢？同学8：在内的解是与，所以方程的解是或，同学9：不对，要进行分类讨论，当时，方程无解3、结论在同学的共同讨论下，关于方程，最后可以得到以下的结论：当时，函数和函数的图象无交点，方程无解，即解集为当时，方程的解集为或4、继续探究从解方程的方法得到启发，如何解方程呢？同学10：由诱导公式，将方程转换为即可教师：很好，体现了数学转换的思想，那么能不能用类似解的方法来解方程呢？同学11：那么还是用数形结合的方法，先分类讨论，当时，函数与 的图象无交点，方程无解当时，函数与的图象在区间内的交点有两个，横坐标是与，所以方程的解集为或教师：很好，理解了方程的解法之后，用类比的方法就很容易解方程了那么又如何解方程呢？同学12：还是用数形结合的方法，函数与的图象在区间内的交点横坐标是，又由于函数的最小正周期是，所以方程的解集为教师：很好，方程是最容易解的，函数与的图象在区间 内的交点总是有且只有一个，不需要进行分类讨论5、练习解下列方程：（1）；（2）；（3）6、小结今天我们一起讨论了如何解三角方程，先研究如何解最简三角方程，掌握了解三种最简三角方程的基本方法，另外，解三角方程的基本思想方法主要体现在以下几个方面：（1）从特殊到一般的研究问题方法；（2）利用函数的图象及性质，采用数形结合的方法；（3）转化思想，先找到一个周期内的解，再利用周期性质得到方程所有的解；（4）采用类比的思想方法7、布置作业第106页 习题 1，2六、教学建议与反思最简三角方程这节内容两节课完成，这是第一节课，这节课的教学思路是这样设计的，先是通过复习解斜三角形引出问题，使同学产生研究的兴趣，课堂上学生对这个问题的确产生了兴趣，虽然引入没有花许多时间，但产生了明显的效果，然后是跟同学一起讨论如何解三角方程，由简单到复杂逐步推进，从中逐步体会解三角方程的思想，如利用三角函数的周期性质，还有数形结合，分类讨论等数学方法，课堂上学生能进行积极思考和讨论，并能够对教材提出自己的独特的见解完成对三角方程的求解之后，要求学生继续解三角方程和，学生的思维很积极，如能利用转换思想将方程转换为来解，能合理运用类比的思想方法，将解方程得到的方法应用到解方程和上，在课堂小结时，同学也能把本节课学习到的重要内容总结出来由于这节课设计时要解决三个三角方程，在讨论好解的方法之后，继续研究如何解另外两个方程，这个过程培养了同学的类比能力，增强了同学的类比意识，但是也遇到一些问题，如课堂练习的时间比较少，没有能对方程的各种解法进行更进一步的探讨，其实可以从单位圆的角