湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 1.1.2余弦定理导学案 新人教A版必修5

高中数学高一年级必修五第一章 第1.1.2节：余弦定理 导学案学习目标继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。学习重点、难点重点：余弦定理的发现过程及定理的应用；难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。学法指导探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式。通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题。D知识链接本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了进一步的认识，在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。E自主学习提出问题 在ABC中，若AB2，AC3，A60.问题1：这个三角形确定吗？提示：确定问题2：你能利用正弦定理求出BC吗？提示：不能问题3：能否利用平面向量求边BC？如何求得？提示：能2222222cos A49223cos 607问题4：利用问题3的推导方法，能否推导出用b，c，A表示a?提示：能导入新知余弦定理余弦定理公式表达a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理语言叙述三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍推论cos A，cos B，cos C化解疑难对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立(2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化F.合作探究已知三角形的三边解三角形例1在ABC中，若abc12，求A，B，C.解由于abc12，可设ax，bx，c2x.由余弦定理的推论，得cos A，故A30.同理可求得cos B，cos C0，所以B60，C90.类题通法已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角活学活用1边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角的和是_解析：设中间角为，由于875，故的对边的长为7，由余弦定理，得cos .所以60，故另外两角和为18060120.答案：120已知三角形的两边及其夹角解三角形例2在ABC中，已知a8，B60，c4(1)，解此三角形解由余弦定理得：b2a2c22accos B824(1)2284(1)cos 606416(42)64(1)96，b4.法一：由cos A，0A180，A45.故C180AB180456075.法二：由正弦定理，sin A，ba，ca，a最小，即A为锐角因此A45.故C180AB180456075.类题通法已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好活学活用2在ABC，已知a2，b2，C15，解此三角形解：c2a2b22abcos C(2)2(2)2222cos(4530)84() 2c.法一：由余弦定理的推论得cos A.0A180，A45，从而B120.法二：由正弦定理得sin A.ab，AB，又0A180，A必为锐角，A45，从而得B120.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形例3在ABC中，已知b3，c3，B30，求角A、角C和边a.解法一：由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22a3cos 30，a29a180，得a3或6.当a3时，A30，C120.当a6时，由正弦定理得sin A1.A90，C60.法二：由bc，B30，bcsin 303知本题有两解由正弦定理得sin C，C60或120，当C60时，A90，ABC为直角三角形由勾股定理得a6，当C120时，A30，ABC为等腰三角形，a3.类题通法已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边活学活用3已知：在ABC中，cos A，a4，b3，则c_.解析：A为b，c的夹角，由余弦定理得a2b2c22bccos A，169c26c，整理得5c218c350.解得c5或c(舍)答案：5判断三角形的形状例4在ABC中，若acos Abcos Bccos C，试判断ABC的形状解由余弦定理可得abc等式两边同乘以2abc得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(a2b2c2)，整理化简得a4b42a2b2c4，(a2b2)2c4.因此有a2b2c2或b2a2c2.即a2b2c2或b2a2c2故ABC为直角三角形类题通法判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状活学活用4在ABC中，若cos A，试判断其形状解：由cos A得cos A，即，b2c2a22b2，即a2b2c2，因此ABC是以C为直角的直角三角形典例如图所示，在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求出BC的长解题流程规范解答设BDx.在ABD中，根据余弦定理，AB2AD2BD22ADBDcosBDA，142102x2210xcos 60，即x210x960，解得x116，x26(舍去)，BD16.ADCD，BDA60，CDB30.在BCD中，由正弦定理，BC8.名师批注 将四边形ABCD分解为两个ABD和BCD，利用余弦定理列出关于x的一元二次方程，化简方程时易出错，应注意步骤及计算的准确性。由ADCD，BDA60得CDB30，学生有时不易想到活学活用如图所示，在ABC中，已知B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，求AB.解：在ADC中，cos C.又0C180，sin C.在ABC中， ，ABAC7.G.课堂小结由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？H达标检测一、选择题1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，a，b1，则c()A1 B.2C.1D.解析：选B由余弦定理a2b2c22bccos A，得c2c20，解得c2或c1(舍去)2在ABC中，若a8，b7，cos C，则最大角的余弦值是()A B.C D解析：选C由余弦定理，得c2a2b22abcos C82722879，所以c3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A.3在ABC中，B60，b2ac，则此三角形一定是()A直角三角形 B.等边三角形C等腰直角三角形 D钝角三角形解析：选B由余弦定理，得b2a2c2ac，又b2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac.B60，AC60.故ABC是等边三角形4在ABC中，bcos Aacos B，则ABC是()A等边三角形 B.等腰三角形C直角三角形 D锐角三角形解析：选B因为bcos Aacos B，所以ba.所以b2c2a2a2c2b2.所以a2b2.所以ab.故此三角形是等腰三角形5在ABC中，B60，最大边与最小边之比为(1)2，则最大角为()A45 B.60C75 D90解析：选C由题意可知cba，或abc，不妨设c2x，则a(1)x，cos B.即b26x2.cos C，C45，A180604575.二、填空题6设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(abc)(abc)ab，则角C_解析：(ab)2c2ab，cos C，C.答案：7在ABC中，A120，AB5，BC7，则的值为_解析：由余弦定理可得49AC22525ACcos 120，整理得：AC25AC240，解得AC3或AC8(舍去)，再由正弦定理可得.答案：8在ABC中，若sin Asin Bsin C357，则C的大小是_解析：因为sin Asin Bsin C357，由正弦定理可得abc357，设a3k(k0)，则b5k，c7k，由余弦定理的推论得cos C，又0C180，所以C120.答案：120三、解答题9在ABC中，若已知(abc)(abc)3ab，并且sin C2sin Bcos A，试判断ABC的形状解：由正弦定理，可得sin B，sin C.由余弦定理，得cos A.代入sin C2sin Bcos A，得c2b.整理得 ab.又因为(abc)(abc)3ab，所以a2b2c2ab，即cos C.故C.又ab，所以ABC为等边三角形10在ABC中，角A、B、C的对边分别为a