四川省自贡市2020届高三数学第二次考试试题 理（答案不全）新人教A版

y x O12 图 1 富顺第三中学校高富顺第三中学校高 20202020 级第二次考试数学理科试卷级第二次考试数学理科试卷 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1设集合 |ln(1),Ax yxyR，集合 2 |,By yxxRAB则（ ） AB0,1)C （1，+）D （-，1） 下面是关于复数 的四个命题:2 2 1 z i :,的共轭复数为 的虚部为 ，真命题为（ ） 1 p2z 2: p 2 2zi 3: pz1 i 4: pz1 . A 23 ,pp.B 12 ,p p.C 24 ,pp.D 34 ,pp 3等比数列an的前n项和为Sn，且 4a1,2a2，a3成等差数列，若a11，则S4等于（ ） A16 B15 C8 D7 4.已知条件 2 :340p xx；条件 22 :690q xxm，若p是q的充分不必 要条件，则m的取值范围是（ ） A. 1,1 B. 4,4 C.(, 11,) D. (, 44,) 5.了得到函数sin(2) 6 yx 的图像，只需把函数sin(2) 3 yx 的图像（ ） A向左平移 4 个长度单位 B .向右平移 4 个长度单位 C.向左平移 2 个长度单位 D.向右平移 2 个长度单位 6.知则的解集是（ ） )0( 1 )0( 1 2)( 2 xx x x xf1)(xf A B C D 4 ,2 , 41, 42, 7.知实数a、b、c、d成等比数列，且函数yln（x2）x当xb时取到极大值c，则 ad等于（ ） A1 B0 C1 D2 8 在长为的线段上任取一点.现作一矩形，邻边长10cmABC 分别等于线段的长，则该矩形面积大于的概,AC CB 2 9cm 率为（ ） . A 1 10 .B 1 5 .C 3 10 .D 4 5 9.何体的三视图如图 1 所示,它的体积为 ABCD12455781 10.( )yfx是( )f x的导函数，( )yfx的图象 如图 1 所示，则( )yf x的图象为（ ） y 2xO1 y 2xO1 y 2 O x 1 y 2 Ox 1 A B C D 11.( )f x是定义在R上的偶函数，且(2)(2)fxfx，当 2,0x 时， 2 ( )()1, 2 x f x 若在区间 2,6内的关于x的方程( )log (2)0(0 a f xxa且 1)a 恰有 4 个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. (8,) B. (1,8) C. (1,4) D. 1 ( ,1) 4 12.函数 1 ( ), ( )ln 22 x x f xeg x，对任意,aR存在(0,)b使( )( )f ag b，则 ba的最小值为 A. 21e B. 2 1 2 e C.2ln2 D. 2ln2 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填写在答题纸中横线上。 13. 二项式 6 1 ()ax x 展开式中的常数项是 60，则实数a . 14.(0,), 2 且 2 1 cossin(2 ), 22 则tan . 15, ,A B C D E F6 个同学和 1 个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫， ,A B和,C D分别穿白色和黑色文化衫，E和F分别穿红色和橙色文化衫。若老师站中间， 穿着相同颜色文化衫的都不相邻，则不同的站法种数为 . 16.定义在R上的函数( )yf x是增函数，且函数(3)yf x的图像关于点（3,0）成中 心对称图形，若实数, s t满足不等式 22 (2 )(2)f ssftt ，当14s时， 22 2tss的取值范围是 . 第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 7474 分）分） 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 74 分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。 17 （本小题共 12 分）锐角中，角、所对的边长分别为、向量ABCABCab, c ,且.3,sin,cos, 1BnBmmn (1)求角的大小;B (2)若面积为,求的值.ABC 3 3 2 2 253bac, a c 18. (本小题满分分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随12 机抽取了 100 名观众进行调查,如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时5 间的频率分布直方图,其中收看时间分组区间 是:0,10 , 10,20 , 20,30 ,30,40 , ,.40,5050,60 频率 组距 0.028 0.025 0.020 0.012 x 0.005 分钟 O102030405060 图 5 将日均收看该类体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. （1）求图中的值; x （2）从“体育迷”中随机抽取人，该人中日均收看该类体育节目时间在区间22 内的人数记为，求的数学期望.50,60XX E X 19. （满分分）如图,在三棱柱中,侧126ABC 111 ABC 棱与底面垂直 ,点 0 90BAC 1 ABACAA2 分别为和的中点.,M N 1 AB 11 BC （1）证明:; 1 AM MC （2）证明:平面;/ /MN 11 A ACC （3）求二面角的正弦值.NMCA 20. （满分分）等差数列满足12 n a 又数列中 ,且., 32, 5 253 aaa n b3 1 b 1 30 nn bbnN (1)求数列,的通项公式; n a n b (2)若数列,的前项和分别是,且求数列的前 n a n bn nn TS , 23 . nn n ST c n n c 项和;n n M (3)若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围. n M 3 9log0,1 4 m mm且nm 21.本小题满分 12 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时， 2 ( )4 .f xxx. （1）求函数( )f x的解析式；（2）已知a为实数，且 2 ()(44)f aafa，求函数 ( )()g xx xa在区间0,2上的最小值. 22（满分 14 分）已知函数定义在区间上，且当)(xf1 , 11) 2 1 (f 时，恒有，又数列满足1 , 1,yx xy yx fyfxf 1 )()( n a 。 2 11 1 2 , 2 1 n n n a a aa B1 A1 M A B C N C1 图 6 证明：在上是奇函数；) 1 ()(xf1 , 1 （2）求的表达式； n af （3）设，是数列的前项和，试问是否存在正整数，使 n n af b 2 1 n T n bnnm, 成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，说明理由。 2 1 4 4 1 mT mT n n B1 A1 P C1 N C B A M 答案 16 1 ,24 2 . 17. 解(1) : (1) nm3,sincos, 1BB 1 分3cossin1BB BBcos3sin ,0mnm n 2 分0cos3sinBB 为锐角三角形, 3 分ABCcos0B , 4 分3tanB 0 2 B . 5 分 3 B (2)由,得, 6 分Baccabcos2 222 accab 222 代入得,得. 7 分 2 253bacaccaac 22 2535 ca 9 分 113 sinsin 2234 ABC SacBacac 由题设,得 10 分 33 3 42 ac 6ac 联立, 5 6 ac ac 解得或 12 分 2, 3 a c 3. 2 a c 18. 解:(1)由题设可知, 10.0050.0120.020.0250.028101x 分 解之得 2 分0.01.x (2)由题设可知收看该类体育节目时间在区间内的人数为人, 50,600.005 10 1005 3 分 “体育迷”的人数为, 4 分0.01 0.00510 10015 所以的可能取值为, 5 分X0,1,2 , 7 分 02 510 2 15 3 0 7 C C p X C 9 分 11 510 2 15 10 1 21 C C p X C 11 分 20 510 2 15 2 2 21 C C p X C 的数学期望.12 分X 31022 012 721213 E X 18.解 :证明(1)证法一:由题设知, 1 ACAA 又 0 90BAC ACAB 平面,平面, 1 AA 11 AABBAB 11 AABB 1 AAABA 平面, AC 11 AABB 平面 1 AM 11 AABB . 1 分 1 AMAC 又四边形为正方形,为的中点, 11 AABBM 1 AB 2 分 1 AM MA ,平面,平面ACMAAAC MCAMAMCA 平面 3 分 1 AMMCA 又平面 4 分MC MCA . 5 分 1 AM MC 证法二:(向量法) 以点为坐标原点,分别以直线A 为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示. 1 分 1 ,AB AC AAxyzAxyz 于是,2 分0,2,0 ,C 1 0,0,2A1,0,1 ,1,1,2 .MN 3 分 1 1,0, 1 ,1,2, 1AMMC 4 分 1 11 0 2110AM MC . 5 分 1 AM MC (2)证法一: 连接 6 分 11 ,AB AC 由题意知,点分别为和的中点,M N 1 AB 11 BC . 7 分 1 / /MNAC 又平面,平面, 8 分MN 11 A ACC 1 AC 11 A ACC 平面. 9 分/ /MN 11 A ACC 证法二:取中点,连,而 11 ABP,MP NP,M N 分别为与的中点, 1 AB 11 BC 1 / /,MPAA 平面,平面 平面, MP 11 A ACC 1 AA 11 A ACC/ /MP 11 A ACC 同理可证平面 6 分/ /NP 11 A ACC 又 MPNPP 平面平面. 7 分/ /MNP 11 A ACC 平面， 8 分MN MNP 平面. 9 分/ /MN 11 A ACC 证法三(向量法): 以点为坐标原点,分别以A 直线 为轴,轴,轴建立空间直 1 ,AB AC AAxyz 角坐标系,如图所示.于是Axyz 0,0,0 ,2,0,0 ,AB1,0,1 ,1,1,2 .MN , 1 ,ABAC ABAA 1 ACAAA 平面AB 11 A ACC 向量是平面的一个法向量 6 分2,0,0AB 11 A ACC 0,1,1MN AB MN 2 00 1 0 10 7 分ABMN 又平面 8 分MN 11 A ACC 平面 9 分/ /MN 11 A ACC (3)解法一:以点为坐标原点,分别以直线A 为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示. 1 ,AB AC AAxyzAxyz 于是0,0,0 ,2,0,0 ,0,2,0 ,ABC , 10 分 111 2,0,2 ,0,2,2 ,0,0,2BCA1,0,1 ,1,1,2 .MN 由(1)知是平面的一个法向量,. 1 MA MCA 1 1,0,1MA 11 分 设平面的法向量为,NMC, ,nx y z x y B1 A1 P C1 N C B A M z B1 A1 Q P H O D1 D C1 N C B A M B1 P Q H O M D1 C A 0,1,1 ,1,2, 1MNMC 00 203 0 n MNyzyz xyzxz n MC 12 分3,1, 1n 设向量和向量的夹角为,则 1 MA n 1 22 2222 1 130 1 11 cos 101311 MA n MAn 4 22 13 分 二面角的的正弦值为 NMCA 2 83 11 1 cos1. 1111 14 分 解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连交于点,连,显 11 ,DC CDO 11 ,B A BO 然,都在同一平面上.,A M C 11 ,B D O 11 ACB D 易证, 1 / /BOMC 11 C OCD 平面,平面, 11 B D 11 CC DD 1 C O 11 CC DD ,又 111 C OB D 111 B DDCO 平面. 1 C O 11 ACB D 取中点,连, 1 BOHNH 分别是的中点,N H 111 ,BO BC , 1 / /NHC O 平面, 10 分NH 11 ACB D 且为垂足,即平面,过点作于,HNH AMCOOPMCP 过作交于,连,H/ /HQOPMCQNQ 则即是所求二面角的补角. 11 分NQHNMCA 在中,Rt MAC 2 222 226CMACAM , 21 sin 63 AM MCA MC 16 sinsincos1, 233 OCPMCAMCA 在中，Rt OPCsin, 2 OP OCP 62 3 2 33 OP 2 3 . 3 HQOP 又 1 12 . 22 MHC O 在Rt NHQ 中， 12 分 22 1411 , 236 NQNHHQ = 13 分sinNQH 2 3 11 2 . 1111 6 NH NQ 所求二面角的正弦值为 NMCA 3 11 sinsin. 11 NQHNQH 14 分 20. 解解: : ( ( 1)1)设等差数列设等差数列的公差为,则由题设得: n ad 1 11 25 423 ad adad 即即, ,解得解得 1 分 1 1 25 23 ad ad 1 1 2 a d 2 分11221 n annnN 1 30 nn bb 1 3, n n b nN b 数列是以为首项,公比为的等比数列. 3 分 n b3 1 b3 4 分 1 3 33. nn n bnN (2)由(1)可得 5 分 2 121 , 2 n nn Sn 6 分 1 3331 33 . 1 32 n n n T 7 分 21 1 333 3. n n n n cn n 1231nnn Mccccc 2341 1 32 33 31331 nn n Mnn 34512 31 32 33 31332 nn n Mnn 8 分 得: 9 分 12 23412 233333 nn n Mn 21 2 333 3 1 3 n n n 10 分(3) n M 9 2131. 4 n nnN 1nn MM 1 99 21312131 44 nn nn 9130 n n 1 , nn MMnN 当时, 取最小值, 1n n M 1 9M 11 分 9 3 9log 4 m 即 3 log1 4 m 当时，恒成立； 12 分1m 3 log1 4 m 当时，由 ，01m 3 log1 4 m logmm 得 ， 3 4 m 13 分 3 0. 4 m 实数的取值范围是. 14 分m 3 01 4 mmm 或 21.解：设0,x 则0,x 因为当0 x 时， 2 ( )4 .f xxx.所以 2 ()()4 .fxxx .又因为( )f x是定义在R上的奇函数，所以()( )fxf x ， 所以 2 ( )()4f xfxxx ， 所以函数( )f x的解析式为： 2 2 4 ,0 ( ) 4 ,0 xx x f x xx x （2）由（1）易证得( )f x在 R 上为增函数，因为 2 ()(44)f aafa，所以 2 44,aaa 解得，14.a 令,0,2xt t ，则 22 (),3yt tayta，由0y 得0,2 3 a t . 所以函数在