天津市南开中学2020届高三数学下学期第四次月考试卷 理（含解析）

天津市南开中学2020学年高三（下）第四次月考数学试卷（理科）（2月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集，则集合等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出A与B的并集，根据全集UR，求出并集的补集即可【详解】全集，或，则，故选：D【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【详解】作出不等式对应的平面区域，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最小此时z的最小值为，故选：B【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法,准确画图熟练计算是关键.3.设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】当时，由得，得，此时，若，由得，此时，若，由得，得，此时，综上，由得，即“”是“”的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键4.关于x的函数在上为减函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得，tx2ax+2a在1，+）上为增函数，且在1，+）上大于0恒成立，得到关于a的不等式组求解【详解】函数在上为减函数，则在上为增函数，且在上大于0恒成立则，解得实数a的取值范围是故选：C【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题5.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】双曲线的一条渐近线,圆心到渐近线的距离为,即,解得,此双曲线的离心率为,故选D.6.已知定义在R上的函数的图象关于对称，且当时，单调递减，若，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.【详解】定义在上的函数的图像关于对称，函数为偶函数，当时，单调递减，故选A【点睛】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小7.已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，其中O为坐标原点，则与面积之和的最小值是A. B. 3C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及6消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题【详解】设直线AB的方程为：，点，直线AB与x轴的交点为，代入，可得，根据韦达定理有，从而，点A，B位于x轴的两侧，故不妨令点A在x轴上方，则，又，当且仅当，即时，取“”号，与面积之和的最小值是，故选：D【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”8.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，若，则a的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式作出f（x）在0，+）上的图象，结合函数的奇偶性可得f（x）的图象，进而分析可得a的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，当时，又由函数为奇函数，则其图象如图：若，即点在点的下方，分析可得：，即a的取值范围为故选：C【点睛】本题考查函数图像的应用，函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的性质，关键是依据题意，作出函数的图象二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出得答案【详解】，则，的共轭复数在复平面内对应点的坐标为，故答案为：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题10.二项式的展开式中常数项为_用数字表示【答案】-160【解析】二项式的展开式的通项为，令，可得，即展开式中常数项为答案：11.已知正实数x，y满足，则的最小值为_【答案】2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2故答案为：2【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题12.在等腰梯形中，若，且，则_【答案】【解析】依题意得,，.故答案为.13.已知函数，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线对称，则的值为_【答案】【解析】【分析】化函数为f（x）2sin（x），由正弦函数的单调增区间求出x的取值范围，结合题意列不等式组求出k的值，再根据函数f（x）的对称轴求出的值【详解】函数，函数在区间内单调递增，；可解得函数的单调递增区间为：，可得：，其中，解得：且，解得：，可解得：，又由，；可解得函数的对称轴为：，由函数的图象关于直线对称，可得：，可解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了函数yAsin（x+）的图象与性质的应用问题，正确确定k的值是解题的关键，是中档题14.已知定义在上的函数及如下的4个命题：关于x的方程有个不同的零点；对于实数，不等式恒成立；在上，方程有5个零点；时，函数的图象与x轴图成的形的面积是4则以上命题正确的为_把正确命题前的序号填在横线上【答案】【解析】【分析】根据题意，对选项中的每一个问题进行分析与思考，结合函数f（x）的解析式进行解答，即可得出正确的选项【详解】当时，；时，；设，则，；，则，；，则，；，则，画出草图，当时，在上有6个不相等的实根，上只有一个实根，以后再没有了，共有7个不相等的实根，故错；函数的最高点都在曲线上，对于实数，不等式恒成立，故正确；在上，方程即，由函数及y=的图像，可得方程有5个解，故正确；函数的最高点为以4为首项，公比为的等比数列故当时，函数的最高点为，与x轴围成的面积为故错；故答案为：【点睛】本题考查分段函数的图像及运用，考查函数的表达式和值域，等比数列的通项及运用，考查数形结合的能力，判断能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设求函数的最小正周期和单调递减区间；若锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，且，求角C及边c【答案】（），；（），【解析】试题分析：（）由两角和与差的正弦、余弦公式、辅助角公式可将化为，故的最小正周期，由 可得的单调递减区间是 ；（）由及为锐角三角形可得，由正弦定理，得得，故，由余弦定理得试题解析：（）的最小正周期.由 解得 ，故的单调递减区间是 .（）在锐角中，即.由，得.，由正弦定理，得.由，得.故.由余弦定理，故.考点：三角函数的性质16.某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望【答案】【解析】【分析】（）利用古典概型的概率求解方法求出概率即可；（）求出随机变量X的所有可能取值，求出相应的概率，得到X的分布列，然后求解数学期望【详解】由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件“恰有1位女棋手”，则，所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为随机变量X的所有可能取值为0，2，其中，所以，随机变量X分布列为X024P随机变量X的数学期望【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题17.如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，BE与平面ABCD所成角为求证：平面BDE；求二面角的余弦值；设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得平面BEF，并证明你的结论【答案】（1）见解析 （2）（3）M的坐标为(2,2,0)，见解析【解析】试题分析：（1）由正方形性质得，由平面得，再根据线面垂直判定定理得平面（2）利用空间向量求二面角：先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角（3）设点坐标，根据平面得，列方程解得点坐标，再确定位置试题解析：（）证明：平面，平面，又是正方形，平面（），两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，与平面所成角为，即，由，可知：，则，设平面的法向量为，则，即，令，则因为平面，所以为平面的法向量，所以因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为（）依题意得，设，则，平面，即，解得：，点的坐标为，此时，点是线段靠近点的三等分点点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，各项为正数的等比数列满足，求数列，的通项公式；若，数列的前n项和；求；若对任意，均有恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）， ；（2）；.【解析】试题分析：（1）利用，化简后可得为等差数列，由此求得数列的通项公式，求得后，利用等比数列通项公式，可求得的通项公式.（2）由于是一个等差数列乘以一个等比数列，故用错位相减求和法求其前项和. 利用分离常数法将原不等式分离常数，再利用差比较法可求得的取值范围.试题解析：（1）又各项为正开始成等差又 为公差为的等差数列 （2） 恒成立即恒成立设当时，时，.点睛：本题主要考查数列通项公式的求法，考查数列求和的基本方法错位相减法，考查不等式恒成立问题的解决策略.由于和的关系式题目给定，故利用可求得的通项公式.求出的通项公式后通过观察可发现的通项是一个等差数列乘以一个等比数列，故用错位相减求和法求.19.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为，离心率为，过椭圆的右焦点F的直线l与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点求椭圆的方程；设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；设，是线段为坐标原点上的一个动点，且，求m的取值范围【答案】（1）；（2）定点（3）【解析】【分析】（1）根据椭圆的一个顶点，得b1，利用离心率求得a和c关系进而求得a，则椭圆的方程可得；（2）设直线l的方程为yk（x2）（k0），代入椭圆方程，得到韦达定理，设存在N（t，0），使得C、B、N三点共线，则，利用向量共线定理坐标化，将韦达定理代入可得t，即可求解（3）利用（2）韦达定理，将坐标化，结合向量的数量积公式，即可求得m的取值范围；【详解】由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆C的方程为，椭圆C的一个顶点为，即由，解得：，所以椭圆C的标准方程为；由得，设，设直线l的方程为，代入椭圆方程，消去y可得则，点C与点A关于x轴对称，假设存在，使得C、B、N三点共线，则，、B、N三点共线，即，存在定点，使得C、B、N三点共线由，解得：，当时，符合题意故m的范围为【点睛】本题考查直线与椭圆综合问题，定点问题，相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量共线定理、两点之间的距离公式、向量垂直与数量积的关系、三点共线问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题20.已知函数在处取得极值求实数a的值；若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；证明：参考数据：【答案】（1）0；（2）；（3）见解析【解析】【分析】(1)求导，由f(1)0构造方程求出a；(2)由(1)将方程f(x)2xx2b化简，令g(x)x23xlnxb(x0)，求导，研究当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况，确定函数的最值，从而建立不等式组，即可求得结论；(3)设(x)lnx(x21)，求导，根据函数的单调性得当x2时，2，从而累加可得结论【详解】（1）f(x)1，x1是f(x)的一个极值点，f(1)0，即10，a0.经检验满足题意.(2)由(1)得f(x)xlnx，f(x)2xx2b即xln