安徽省六安市舒城中学2020届高三数学仿真试题（三）文（含解析）

舒城中学2020届高三仿真试题（三）文科数学试题第卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)1.设集合 则集合等于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：，故选A考点：集合的运算2.设复数z满足，其中i为虚数单位，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：将式子变形为z等于一个表达式的形式，在对表达式进行化简，分母乘以自身的共轭复数即可化为实数.详解： 故选D点睛：复数 的模长为，以及涉及到复数的除法运算，一般是使得分母乘上分母的共轭复数可以将分母化为实数.3.若满足，则的最小值为( )A. 8 B. 7 C. 2 D. 1【答案】B【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图内部（含边界），作直线，把直线向上平移，增加，当过点时，为最大值故选B考点：简单的线性规划问题 4.已知等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由成等差数列可得，即，也就是，所以等比数列的公比，从而，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前项和.5.若则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】，选B6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥，故其体积为选B7.执行如右图所示的程序框图，输出的的值是( )A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】B【解析】试题分析：由框图可知，当时，；当时，输出，选B.考点：程序框图8.甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出甲，乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件，同时列出这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的约束条件，利用线性规划作出平面区域，再利用几何概型概率公式求出概率【详解】设甲船到达的时间为，乙船到达的时间为，则所有基本事件构成的区域满足这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域满足，作出对应的平面区域如图所示这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为故选【点睛】本题主要考查了建模，解模能力，解答的关键是利用线性规划作出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率。9.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象( )A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，再由五点作图法求出的值，从而求出函数的解析式，利用诱导公式可得，再根据函数的图象变换规律，可得结论【详解】由函数的图象可得，则，可得再由五点作图法可得，可得故函数的解析式为由故将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象故选【点睛】本题主要考查了函数的图象变换，要根据图形中的条件求出函数的解析式，然后结合诱导公式求出结果，属于基础题。10.已知定义在R上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的对称性判断函数的单调性，采取排除法，由四个选项的特征代入特值求解【详解】，则函数关于对称函数在上是增函数函数在是减函数，即在上是减函数当时，不等式变为，根据函数的图象特征可得出：，解得或，满足不等式对任意恒成立，由此排除两个选项当时，不等式变为，根据函数的图象特征可得出：，解得，不满足不等式对任意恒成立，由此排除综上所述，选项是正确的故选【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质探究方法与应用，解答本题直接求解较为复杂，采取排除法来求解，由四个选项中的特征找出切入点，通过验证特殊值来排除错误答案。11.平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线的方程为，利用椭圆与平行四边形的对称性可得：，联立直线与椭圆方程根据韦达定理求得，即可求得结果【详解】设直线的方程为，利用椭圆与平行四边形的对称性可得：联立，可化为，解得（时不能构成平行四边形），则直线的斜率故选【点睛】本题考查了平行四边形与椭圆的关系，设直线方程和点坐标，结合椭圆的对称性，联立直线方程与椭圆方程来求解，理解并掌握解题方法。12.函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先确定，作出大致图象，设，则有三个不同实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上，由此得到结论【详解】当时，即则大致图象如图所示设，则有三个不同实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上，当时，解得，此时方程为，解得或当时，有一个根当时，此时也只有一个根，此时方程共有两个根，不满足条件设，当有一个根为时，解得，此时另一个根为，满足条件根不是时，则满足即综上所述，故实数的取值范围为故选【点睛】本题考查了根的存在性与根的个数问题，在解答此类题目时要先作出大致图象，然后换元法转化为方程根的情况进行分类讨论，这是解题的关键，要求学生具有转化的能力，还有就是要求分类讨论正确，计算能力过关。第卷（非选择题，共90分）二填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知，则向量与向量的夹角为_.【答案】【解析】分析：由条件利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得向量与向量的夹角的余弦值，可得向量与向量的夹角的值详解：由题意可得| |=1，| |=2，（）=0，即 =，12cos=1 （为向量与向量的夹角），求得cos= ，=，故答案为： 点睛：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题14.已知等差数列中，已知，则=_.【答案】54【解析】试题分析：等差数列，.考点：等差数列前项和.15.已知双曲线，其左右焦点分别为， ，若是该双曲线右支上一点，满足，则离心率的取值范围是_【答案】【解析】设点的横坐标为 ，在双曲线右支上（ ）根据双曲线的第二定义，可得 故答案为.16.如图，是球的直径上一点，平面截球所得截面的面积为，平面， ，且点到平面的距离为1，则球的表面积为_【答案】【解析】设球的半径为 且点 到平面 的距离为1，球心 到平面的距离 为1，截球所得截面的面积为 ，截面圆的半径 为3，故由R 球的表面积点睛：本题考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为，球心距为，球半径为 ，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理三解答题(本大题共6小题,共70分)17.在锐角中， ， ， 为内角，的对边，且满足（）求角的大小（）已知，边边上的高，求的面积的值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（）由，利用正弦定理和三角函数的恒等变换，可得，即可得到角的值；（）由三角形的面积公式，代入，解得的值，及的值，再根据余弦定理，求得的值，由三角形的面积公式，即可求解三角形的面积.试题解析：（），由正弦定理得，且，（），代入，得，由余弦定理得：，代入，得，解得，或，又锐角三角形，18.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且底面.（1）证明：平面；（2）若为的中点，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）先证明，再说明，根据底面，可得，即可证出；（2）因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，可转化为求三棱锥的体积，再换顶点为Q，并利用Q是中点转化为求解即可.试题解析：（1）证明：，.又底面，.，平面.（2）三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，而 .所以三棱锥的体积.点睛：涉及几何体，特别是棱锥的体积计算问题，一般要进行转化，变换顶点后，有时还需要利用等底等高转换，还可以利用直线上的点为中点或三等分点再进行顶点变换，从而求出几何体的体积.19.某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2020年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5:3:2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元。经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加，一般困难的学生中有会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有转为一般困难，特别困难的学生中有转为很困难。现统计了该地级市2020年到2020年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份取13时代表2020年， 与（万元）近似满足关系式，其中为常数。（2020年至2020年该市中学生人数大致保持不变） 其中， （）估计该市2020年人均可支配年收入；（）求该市2020年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为【答案】（）2.8（万）;（）1624万.【解析】【分析】根据表中数据求出回归方程的系数，从而得到回归直线方程，代入，即可解出结果由题意知年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共人，一般困难、很困难、特别困难的中学生依次为人，人，人，按照增长比例关系求解年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生，即可求出财政预算。【详解】（）因为，所以. 由得，所以 ， ，所以，所以.当时，2020年人均可支配年收入（万）（）由题意知2020年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共2000007%=14000人一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人， 2020年人均可支配收入比2020年增长所以2020年该市特别困难的中学生有2800(1-10%)=2520人，很困难的学生有4200(1-20%)+280010%=3640人一般困难的学生有7000(1-30%)+420020%=5740人.所以2020年的“专项教育基金”的财政预算大约为57401000+36401500+25202000=1624万.【点睛】本题考查了线性回归方程，题目内容较多，需要提取出关键数据，然后按照公式进行求解，整体难度不大，较为基础。20.已知定点，定直线：，动圆过点，且与直线相切.（）求动圆的圆心轨迹的方程；（）过点的直线与曲线相交于， 两点，分别过点， 作曲线的切线， ，两条切线相交于点，求外接圆面积的最小值.【答案】（）；（）当 时线段 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为 .【解析】【分析】设，由化简即可得结论；由题意的外接圆直径是线段，设： ，与联立可得，从而得到 ，当时线段最短，最短长度为，此时圆的面积最小，最小面积为【详解】（）设点到直线的距离为，依题意.设，则有 .化简得.所以点的轨迹的方程为.（）设： ，代入中，得.设， ，则， .所以 .因为： ，即，所以.所以直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以，即为直角三角形.所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是直径.因为，所以当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，求轨迹方程的常见方法很多，本题采用了直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可。21.已知函数.(I) 当时，求函数的单调区间;(II) 当时，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（）对函数求导，令，由，可得有两个不同解，结合函数的定义域，即可求得函数的单调区间；（）当时，恒成立等价于当时，恒成立，令，求导得，设，利用导数研究函数的单调性，从而可确定，然后对分类讨论，即可求得的取值范围.试题解析：（），函数定义域为：令，由可知，从而有两个不同解.令，则当时，；当时，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（）由题意得，当时，恒成立.令，求导得，设，则，在上单调递增，即在上单调递增，当时，此时，在上单调递增，而.恒成立，满足题意.当时，而根据零点存在性定理可知，存在，使得.当时，单调递减；当时，单调递增.有，恒成立矛盾实数的取值范围为点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可构造新函数，转化为.22.在平面直角坐标系中， 的参数方程为（为参数， ），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为.（）求的直角坐标方程，并指出其图形的形状；（）与相交于不同两点，线段中点为，点，若，求参数方程中的值.【答案】（）见解析；（） 或.【解析】【分析】由可将的极坐标方程化为直角坐标方程，由方程可知为圆将代入整理得，因为，所以，利用韦达定理求解即可【详解】（）由得，所以将代入得，即，所以的直角坐标方程为，表示以为圆心、为半径的圆.（）将代入整理得设对应的参