山东省威海市2020届高三数学下学期第二次模拟考试试题 文（含解析）

山东省威海市2020届高三下学期第二次模拟考试试卷文科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析: 根据题意和集合的基本运算可知1B，3A，3B，从而得解.详解: 因为全集U=1，2，3，4，5，则1B，3A，3B，则B=2，4，5.故答案为：B点睛：(1)本题主要考查交集、并集和补集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.本题运用韦恩图分析比较好.2. 若复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先化简复数z，再根据z在复平面内对应的点在第一象限得到a的不等式，解不等式即得a的取值范围.详解：由题得，因为z在复平面内对应的点在第一象限，所以故答案为：C点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对复数基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2)复数和点（a,b）是一一对应的关系.3. 对任意非零实数，若的运算原理如图所示，则的值为（ ）A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D【解析】分析：先化简，再运行程序得解.详解：=因为4（-2），所以输出故答案为：D点睛：(1)本题主要考查程序框图、指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的运算能力.(2) 对数恒等式：(,且, ), ,.4. 已知命题： “”，命题：“”，则下列为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析:先判断命题p和q的真假，再判断选项的真假.详解：对于命题p,当a=0,b=-1时，0-1,但是|a|=0,|b|=1,|a|0时，函数在单调递减，因为函数是奇函数，所以函数在单调递减，因为，所以f(2x+3)-1,所以x-2.故答案为：A点睛：(1)本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查抽象函数不等式的解法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答抽象函数不等式，一般先化成的形式，再利用函数的单调性化成具体的函数不等式解答.11. 设均为小于1的正数，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先设=m,再求出，再作商比较它们的大小关系.详解：设=m,因为均为小于1的正数，所以m0，所以所以所以，同理，故答案为：B点睛：（1）本题主要考查指数对数的换算，考查指数函数的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键有二，其一是看到要想到设=m，再对指互化.其二是想到作商比较大小，并把他们化成指数相同的数比较大小.12. 在数列中，一个7行8列的数表中，第行第列的元素为 ，则该数表中所有不相等元素之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由于该矩阵的第i行第j列的元素cij=aiaj+ai+aj=（2i1）（2j1）+2i1+2j1=2i+j1（i=1，2，7；j=1，2，8），根据等比数列的求和公式即可求出详解：该矩阵的第i行第j列的元素cij=aiaj+ai+aj=（2i1）（2j1）+2i1+2j1=2i+j1 （i=1，2，7；j=1，2，8）， 其数据如下表所示：i，j12345678122123124125126127122312412512612712813241 251 261 271 2812914251261271281 29121015261271 281 291 210121116271 281 291 210121117 281 291 21012111由表可知，该数表中所有不相等元素之和为221+231+=-14=故答案为：C点睛：(1)本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握能力. (2)解答本题时，要注意审题，本题求的是“所有不相等元素的和”.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在中，在边上任取一点，满足的概率为_.【答案】. 【解析】分析：利用几何概型求的概率.详解：设点M在BC上，且BM:MC=3：5，此时.当点P在线段MC上时，满足 ，所以所求的概率为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查几何概型的计算，意在考查学生对该知识的掌握能力.(2) 几何概型的解题步骤:首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.14. 在平行四边形中，分别为边的中点，若（），则_.【答案】2.【解析】分析：先利用平面向量基本定理把表示出来，再由已知得到x,y的方程组，解方程组即得x,y的值.详解：由题得因为，所以解之得故答案为：2点睛：（1）本题主要考查平面向量的加法法则、平面向量基本定理等，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)基底法是平面向量的高频考点，即用两个不共线的向量作为基底表示其它向量，本题用就是选择为基底，表示,使问题迎刃而解.15. 设满足约束条件，则的最大值为_.【答案】4.【解析】分析：由题意作出其平面区域，当x，y都取到最大值时z有最大值，代入即可详解：由题意作出其平面区域，由解得A（1，2），因为z=2x+y,所以y=-2x+z,所以直线的纵截距为z,所以直线的纵截距最大时，z最大.当直线y=-2x+z经过可行域A时，纵截距取得最大值，此时z最大.此时x=1，y=2时，z=2x+y有最大值21+2=4，故答案为：4点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对该知识的掌握能力和数形结合思想方法.(2) 解答线性规划时，要理解，不是纵截距最小，z最小，要看函数的解析式，如：y=2x-z,直线的纵截距为-z,所以纵截距-z最小时，z最大.16. 已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为_.【答案】.【解析】分析：先求出底面三角形的外接圆的半径，再求三棱柱外接球的表面积，再利用基本不等式求最小值.详解：设BC=a,则ab=.底面三角形外接圆的半径为r,则所以所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为故答案为：点睛：(1)本题主要考查几何体的外接球问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2) 求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心和截面圆的圆心，找到、球的半径、截面圆的半径确定的,再解求出球的半径.三、解答题 （本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在中，边上一点满足，.（1）若，求边的长；（2）若，求.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：(1)先求出，再利用余弦定理求边的长.(2) 在中，利用正弦定理得到，再化简求sinB的值.详解：（1），在中，中，由余弦定理可得，所以（2）在中，由正弦定理可得，化简得，.点睛：（1）本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解三角形一般要知道三个元素，且至少一个为边长，对于缺少的元素放到其它三角形中去解答.18. 某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.（1）求的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替），其中【答案】(1) .(2)列联表见解析，有的把握认为消费金额与性别有关.(3) .【解析】分析：（1）根据已知列关于m,n的方程组解之即得.(2)先完成22列联表，再计算的值判断.(3)先求调查对象的周平均消费，再求b的值.详解：（1）由频率分布直方图可知，由中间三组的人数成等差数列可知，可解得（2）周平均消费不低于300元的频率为，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.所以列联表为男性女性合计消费金额300204060消费金额300251540合计4555100所以有的把握认为消费金额与性别有关.（3）调查对象的周平均消费为，由题意，.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验和回归方程，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.19. 多面体中，是边长为2的等边三角形，四边形是菱形，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】分析：（1）先证明平面平面，再证明平面.（2）先证明平面，再证明平面平面.详解：（1）证明：取的中点，连接因为分别是的中点，所以在菱形中，在中，又，所以，所以平面平面，平面，所以平面.（2）证明：连结，是边长为2的等边三角形，所以，四边形是菱形，又，所以平面平面，所以平面平面.点睛：（1）本题主要考查空间平行和垂直关系的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力. (2)证明空间的平行或垂直关系一般用几何方法和向量方法，本题用的是几何方法.20. 已知抛物线：的焦点，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且.（1）求的值；（2）已知点为上一点，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.【答案】(1) .(2) 直线方程为，恒过点. 【解析】【详解】分析：（1）设，直接利用抛物线的定义得到，将点代入抛物线方程，解得.（2）先求直线方程为，再求直线经过的定点.详解：（1）设，由抛物线定义，又，即，解得将点代入抛物线方程，解得.（2）由（1）知的方程为，所以点坐标为，设直线的方程为，点由得，所以，所以，解得所以直线方程为，恒过点. 点睛：（1）本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题. (2)解答本题的关键是求出直线方程为，这里需要利用韦达定理.21. 已知函数，为的导函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上存在最大值0，求函数在上的最大值；（3）求证：当时，.【答案】(1) 当时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.(2) 在处取得最大值. (3)见解析.【解析】分析：（1）对a分类讨论，求函数的单调区间.(2)根据函数在上存在最大值0转化得到a=1,再求函数在上的最大值.(3)转化成证明，再转化成证明，再转化成证明.详解：（1）由题意可知， ，则，当时，在上单调递增；当时，解得时，时，在上单调递增，在上单调递减综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可知，且在处取得最大值，即，观察可得当时，方程成立令，当时，当时，在上单调递减，在单调递增，当且仅当时，所以，由题意可知，在上单调递减，所以在处取得最大值（3）由（2）可知，若，当时，即，令，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，即，所以，所以当时，.点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握能力和转化分析推理能力. (2)解答本题的关键是转化，先转化成证明，再转化成证明，再转化成证明.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若直线与相切，求的直角坐标方程；（2）若，设与的交点为，求的面积.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）先根据直线与C相切得到k的值，再写出直线的直角坐标方程.(2)先求AB的长，再求点C到直线AB的距离，最后求的面积.详解：（1）由可得的直角坐标方程为，即，消去参数，可得，设，则直线的方程为，由题意，圆心到直线的距离，解得，所以直线的直角坐标方程为.（2）因为，所以直线方程为，原点到直线的距离,联立解得或,所以，所以.点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标方程的互化，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力。(2)解答坐标系和参数方程的题目，可以选择极坐标解答，也可以选择参数方程解答，也可以选择直角坐标解答，要看具体的情况，具体分析