高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式自主广场素材 新人教B版必修4（通用）

3.1 和角公式自主广场我夯基 我达标1.(福建高考卷，理3)已知(,),sin=则tan(+)等于( )A. B.7 C.- D.-7思路解析:由条件求出tan，再计算tan(+).(,),sin=,cos=-=-，tan=-.tan(+)=.答案:A2.当x-,时，函数f(x)=sinx+cosx的( )A.最大值为1，最小值为-1B.最大值为1，最小值为-C.最大值为2，最小值为-2D.最大值为2，最小值为-1思路解析:先化简再求最值.f(x)=sinx+cosx=2sin(x+)，x-,，-x+.-1f(x)2.答案:D3.已知在ABC中，满足tanAtanB1，则这个三角形一定是( )A.正三角形 B.等腰直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形思路解析:此题限定条件是在三角形中，可以根据三角函数值的符号来判断角的范围.在三角形中，常用到三角形的内角和定理.可以将A+B+C=等价转化成A=-(B+C)，然后用诱导公式化简整理.由于tanAtanB1，可知tanA0，且tanB0，则在ABC中，A、B必定为锐角. 又1，sinAsinBcosAcosB.得到cos(A+B)0.cos(-C)0，即cosC0,则C也必定是锐角.因此ABC是锐角三角形.答案:C4.要使得sin-cos=有意义，则m的取值范围是( )A.(-， B.1，+) C.-1， D.(-，-1)，+)思路解析:利用三角函数的值域求m的取值范围.sin-cos=2(sin-cos)=2sin(-).2sin(-)=，即sin(-)=.-1sin(-3)1，-11.解不等式，可得-1m.答案:C5.(2020江苏南京一模，7)若函数f(x)=sinax+cosax(a0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( )A.(-,0) B.(0,0) C.(-,0) D.(,0)思路解析:化为y=Asin(x+)形式，再讨论其对称中心.f(x)=sinax+cosax=sin(ax+)(a0)，T=1.a=2.f(x)=sin(2x+)(a0). 又f(x)与x的交点是其对称中心，经验证仅有(-,0)是函数f(x)的对称中心.答案:C6.在ABC中，cosA=且cosB=，则cosC的值是_.思路解析:由于在ABC中，cosA=，可知A为锐角，sinA=. 由于cosB=，可知B也为锐角，sinB=.cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=.答案:7.sincos=_.思路解析:思路一：对公式cos(+)=coscos-sinsin进行逆用.sin-cos=2(sin-cos)=2(sinsin-coscos)=-2cos(+)=-2cos=-. 思路二：考虑利用=-来计算sin，sin-cos=sin(-)-cos(-)=-.答案:-8.(湖南常德一模)已知函数f(x)=-1+2sin2x+mcos2x的图象经过点A(0,1)，求此函数在0, 上的最值.思路分析:先求m的值，再化简函数的解析式为y=Asin(x+)+b的形式求最值.解:A(0,1)在函数的图象上，1=-1+2sin0+mcos0， 解得m=2.f(x)=-1+2sin2x+2cos2x=2(sin2x+cos2x)-1=sin(2x+)-1.0x，2x+.-sin(2x+)1.-3f(x)-1.函数f(x)的最大值为-1，最小值是-3.我综合 我发展9.已知cos(+)=，cos(-)=，求tantan的值.思路分析:化切为弦，就会发现要求tantan，就是求sinsin和coscos的比值，因此，本题应该设法求出sinsin和coscos.解:由已知得cos(+)=coscos-sinsin=，cos(-)=coscos+sinsin=，+得coscos=，-得sinsin=-.得tantan=-,即tantan=-.10.求函数f(x)=2sinx-cosx，xR的最值.思路分析:将函数解析式化为y=Asin(x+)后，再求最值.解:f(x)=2sinx-cosx=4(sinx-cosx)=4(sinxcos-cosxsin)=4sin(x-).函数f(x)的最大值是4，最小值是-4. 很明显函数f(x)的最大值不是2+，最小值不是-2-. 下面讨论函数f(x)=asinx+bcosx(ab0)，xR的最值.解:f(x)=asinx+bcosx=(sinx+cosx).()2+()2=1，可设cos=，sin=. 则tan=(又称为辅助角).f(x)=(sinxcos+cosxsin)=sin(x+).当xR时，f(x)的最大值是，最小值是-. 特别是当=1,时，是特殊角，此时常取,. 对于形如y=sinx+cosx(0)的式子引入辅助角化归为y=Asin(x+)的形式，可进行三角函数的化简，求周期、最值等，这是高考和模拟的必考内容之一.11.化简：.思路解析:本题用观察7+8=15，利用这一关系，可以减少角的个数，解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式.解: =tan15=tan(45-30)=2-.12.如果、都是锐角，并且它们的正切值分别为、，求+的值.思路分析:分析题意：要求+，先求tan(+).根据、的正切值可以利用两角和的正切求出(+)的正切值，而+又可以看作是两个角(+)与的和，再运用两角和的正切公式求证即可.但是要注意一定还要确定出+这个和的范围，才能证得结果.解:tan=，tan=，tan(+)=.tan(+)=tan(+)+=1. 又、都是锐角，且0tan=1，0tan=1，0tan=1，045，045，045.0+135.+=45.13.已知，0，cos(+)=-，sin(+)=，求sin(+)的值.思路分析:利用角的